Фазорная арифметика

Фазоры и соответствующие им синусоиды взаимосвязаны, что дает уникальное представление о поведении цепей переменного тока (AC). Один из способов понять эту взаимосвязь — использовать операции дифференцирования и интегрирования как во временном, так и в фазорном доменах.

Когда производная синусоиды берется во временном домене, она преобразуется в соответствующий ей фазор, умноженный на j-омега (jω) в фазорном домене, где j — мнимая единица, а ω — угловая частота. И наоборот, когда синусоида интегрируется во временном домене, она преобразуется в соответствующий ей фазор, разделенный на j-омега в фазорной области. Эти преобразования позволяют находить стационарные решения для синусоиды, не зная начальных значений переменных.

Далее, рассмотрим два фазора, каждый из которых представлен в прямоугольной и полярной формах. Чтобы сложить или вычесть эти два фазора, используются их прямоугольные формы (которые выражают фазор как комплексное число с действительной и мнимой частями). Действительная часть результирующего фазора — это сумма (для сложения) или разность (для вычитания) действительных частей двух исходных фазоров, а его мнимая часть — это сумма или разность мнимых частей отдельных фазоров.

При умножении или делении любых двух фазоров используются их полярные формы (выражающие фазор как величину и угол). Величина результирующего фазора представляет собой произведение (для умножения) или частное (для деления) величин двух исходных фазоров, а угол результирующего фазора представляет собой сумму или разность углов отдельных фазоров.

Наконец, комплексно-сопряженное фазорное выражение, получаемое путем изменения знака его мнимой части, может быть выражено как в прямоугольной, так и в полярной форме. Эта операция имеет решающее значение во многих приложениях, включая вычисление мощности в цепях переменного тока.

В заключение, фазоры служат мощным математическим инструментом при изучении цепей переменного тока, упрощая анализ и решение проблем, которые были бы значительно более сложными во временной области.