Теорема Парсеваля

Теорема Парсеваля гласит, что если функция является периодической, то средняя мощность сигнала за один период равна сумме квадратов величин всех комплексных коэффициентов Фурье.

Чтобы проверить теорему Парсеваля, предположим, что функция имеет комплексный ряд Фурье стандартной формы. Подставляя его и решая дальше, мы получаем доказательство теоремы.

Интересно, что теорема Парсеваля также может быть выражена в терминах коэффициентов Фурье тригонометрического ряда Фурье.

В обработке звука теорема Парсеваля используется для сравнения энергии исходной звуковой волны с ее сжатой версией.

Инженерная интерпретация этой теоремы дает практические выводы. Если функция представляет собой электрический сигнал, такой как ток или напряжение, то квадрат функции представляет собой мгновенную мощность в резисторе сопротивлением 1 Ом.

Эта теорема также связывает энергию, рассеиваемую в резисторе в течение одного периода, с рядом Фурье, предоставляя два различных выражения - одно в терминах тригонометрического ряда Фурье, а другое в терминах ряда Фурье амплитудной фазы.