Теорема выборки (Наквиста-Шеннона и Котельникова)

В обработке сигналов анализ непрерывных во времени сигналов, обозначаемых как x(t), часто включает методы дискретизации для преобразования этих сигналов в дискретные во времени. Этот процесс необходим для цифрового представления и манипуляции. Критически важным компонентом выборки является последовательность импульсов, характеризуемая интервалом выборки и частотой выборки. Связь между этими параметрами и свойствами исходного сигнала определяет успешность процесса дискретизации.

Умножение непрерывного во времени сигнала на последовательность импульсов приводит к серии дискретных импульсов. Эта операция создает дискретизированный сигнал, который можно проанализировать в частотной области с помощью преобразования Фурье. Преобразование Фурье показывает, что спектр дискретизированного сигнала состоит из нескольких смещенных версий спектра исходного сигнала. Эти спектральные копии разнесены на частоту выборки.

Основополагающий принцип теории выборки заключается в том, что для предотвращения перекрытия между этими смещенными спектрами частота выборки должна быть достаточно высокой. В частности, частота дискретизации fsf_sfs должна более чем в два раза выше самой высокой частоты, присутствующей в исходном сигнале - условие, известное как частота Найквиста. Когда fsf_sfs соответствует этому критерию или превышает требуемую частоту, спектры не перекрываются, что гарантирует, что исходный сигнал может быть идеально восстановлен из его выборок. Это требование заключено в теореме о дискретизации, которая гласит, что для сигнала с ограниченной полосой частот частота дискретизации должна быть как минимум в два раза выше самой высокой частотной составляющей сигнала.

Когда сигнал дискретизируется с частотой выше частоты Найквиста, он считается передискретизированным. Передискретизация может дать такие преимущества, как снижение шума и более простая конструкция цифрового фильтра. И наоборот, если частота дискретизации ниже частоты Найквиста, сигнал недодискретизирован, что приводит к явлению, известному как наложение спектров. Наложение спектров приводит к тому, что различные частотные компоненты становятся неотличимыми друг от друга, искажая восстановленный сигнал. В практических приложениях соблюдение частоты Найквиста имеет решающее значение для точного цифрового представления и реконструкции аналоговых сигналов. Этот принцип лежит в основе различных технологий, включая цифровое аудио, телекоммуникации и медицинскую визуализацию, гарантируя, что сигналы могут быть отобраны, обработаны и реконструированы без потери критически важной информации.

Использованные ссылки (перечислите все источники):

1. Sadiku, M.N.O. и Ali, W.H. (2016). Signals and Systems- Primer with Matlab. Boca Raton, FL: CRC Press, Taylor and Francis Group. С. 247-249.