1.9
Комплексные числа
В системе действительных чисел невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, что ограничивает решения некоторых уравнений, например кв…
Некоторые уравнения не имеют реального решения, потому что они включают квадратные корни из отрицательных чисел.
Чтобы решить эту проблему, вводятся комплексные числа, определяющие квадратный корень из −1 как мнимую единицу i.
Это можно визуализировать на комплексной плоскости, где действительная и мнимая части образуют перпендикулярные оси, размещая каждое комплексное число в виде точки.
Сложение комплексных чисел предполагает раздельное сложение их действительной и мнимой частей.
Умножение комплексных чисел следует распределительному свойству. Поскольку i2=−1, любое вхождение i2 заменяется на −1 при упрощении.
Деление комплексных чисел включает в себя умножение числителя и знаменателя на сопряжение знаменателя, которое имеет одну и ту же действительную часть и противоположную мнимую часть, чтобы исключить мнимую часть.
Точно так же, как каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня, каждое отрицательное действительное число также имеет два сложных квадратных корня, которые являются сложными сопряженными корнями.
Комплексные числа используются в магнитно-резонансной томографии, где сканер собирает сложные данные сигнала, называемые k-пространством. Эти данные преобразуются в пространственные изображения с помощью обратных преобразований Фурье.
View the full transcript and gain access to JoVE Core videos
Q1: Why are complex numbers necessary in mathematics?
Complex numbers extend the real number system to solve equations that have no real solutions, particularly those involving square roots of negative numbers. The imaginary unit i is defined as the square root of −1, allowing equations like x² + 1 = 0 to have solutions within the complex number system. This expansion ensures all polynomial equations can be solved.
Q2: How do you add and subtract complex numbers?
Complex numbers are added and subtracted by combining their real and imaginary parts separately. For example, to add (x + yi) and (u + vi), add the real parts (x + u) and the imaginary parts (y + v) to get (x + u) + (y + v)i. Subtraction follows the same process, subtracting corresponding parts independently.
Q3: What happens when you multiply complex numbers?
Multiplying complex numbers uses the distributive property, treating i as a variable. The key simplification rule is i² = −1, which replaces any occurrence of i² with −1 during simplification. For example, (2 + 3i)(1 + i) = 2 + 2i + 3i + 3i² = 2 + 5i − 3 = −1 + 5i.
Q4: How do you divide complex numbers?
To divide complex numbers, multiply both the numerator and denominator by the conjugate of the denominator. The conjugate of (u + vi) is (u − vi). This eliminates the imaginary part from the denominator, leaving a real number that allows simplification of the entire fraction.
Q5: What is a complex conjugate and why is it useful?
The complex conjugate of (x + yi) is (x − yi), with the same real part and opposite imaginary part. When a complex number is multiplied by its conjugate, the result is always a real number. This property is essential for division and simplification, as it converts complex denominators into real numbers.
Q6: How are complex numbers visualized?
Complex numbers are visualized on the complex plane, where the real part is plotted on the horizontal axis and the imaginary part on the vertical axis. Each complex number corresponds to a unique point on this plane, with perpendicular axes representing the real and imaginary dimensions.
Q7: What are real-world applications of complex numbers?
Complex numbers are used in electrical engineering to express impedance in alternating current circuits, where the imaginary part represents reactance. In signal processing and control systems, they model oscillations, phase shifts, and frequency responses. Medical imaging, such as Magnetic Resonance Imaging, uses complex signal data called k-space, converted into spatial images using inverse Fourier transforms.