6.14: Merkezi Limit Teoremi

CLT olarak kısaltılan merkezi limit teoremi, tüm istatistiklerdeki en güçlü ve kullanışlı fikirlerden biridir. Örnek ortalamalar için merkezi limit teoremi, belirli bir boyuttaki örnekleri tekrar tekrar çizerseniz, ortalamalarını hesaplarsanız ve bu ortalamaların histogramını oluşturursanız, ortaya çıkan histogramın yaklaşık olarak normal bir çan şekline sahip olma eğiliminde olacağını söyler. Başka bir deyişle, örneklem büyüklüğü arttıkça ortalamaların dağılımı normal dağılıma daha yakın bir şekilde takip etmektedir.

"Yeterince büyük" olması gereken örneklem büyüklüğü (n), örneklerin alındığı orijinal popülasyona bağlıdır (örneklem büyüklüğü en az 30 olmalıdır veya veriler normal bir dağılımdan gelmelidir). Orijinal popülasyon normalden uzaksa, örnek ortalamaların veya toplamların normal olması için daha fazla gözlem gerekir. Örnekleme değiştirme ile yapılır.

İstatistik teorisinde merkezi limit teoreminin önemini göz ardı etmemek gerekir. Verilerin dağılımı normal olmasa bile öngörülebilir bir eğilim gösterdiğini bilmek çok önemli bir araçtır.

Normal dağılım, orijinal dağılımla aynı ortalamaya ve orijinal varyansın örneklem büyüklüğüne bölünmesine eşit olan varyansa sahiptir. Standart sapma, varyansın kareköküdür; dolayısıyla örnekleme dağılımının standart sapması, orijinal dağılımın standart sapmasının n'nin kareköküne bölümüdür. n değişkeni deneyin yapılma sayısı değil, birlikte ortalaması alınan değerlerin sayısıdır.

Bu metin Openstax, Introductory Statistics, Section 7.0 Central Limit theorem’den uyarlanmıştır.

Bu metin Openstax, Introductory Statistics, Section 7.1 Central Limit theorem for Sample Means (Averages)’den uyarlanmıştır.

Normal ve tekdüze bir dağılıma sahip popülasyonlar için nokta grafiklerini göz önünde bulundurun.

Farklı örneklem büyüklükleri için örneklem ortalamalarının dağılımı, örneklem büyüklüğü arttıkça normal bir dağılıma yaklaştığını gösterir - bu, merkezi limit teoreminin temel ilkesidir.

Örneklem ortalamalarının ortalaması popülasyon ortalaması ile aynı olmasına rağmen, standart sapması popülasyon standart sapmasından daha küçüktür.

Ancak bu kural, normal olmayan ve örneklem büyüklüğü 30'a eşit veya daha az olan popülasyonlar için geçerli değildir.

Örneklem araçlarının normal dağılım gösterdiğini bilerek, normal dağılımın özelliklerini kullanarak daha iyi istatistiksel analizler yapılabilir.

Örneğin, normal dağılım için geçerli olan ampirik kural, bir grup insanın, örneklem ortalamalarının ortalamasından bir, iki veya üç standart sapma içinde ortalama ağırlıklara sahip olma olasılığını belirlemeye yardımcı olur.

Bu değerler ayrıca z puanlarına da standartlaştırılabilir. Böylece, ortalama ağırlığı 80 kg'dan az olan rastgele seçilmiş bir grup insanın olasılığı belirlenebilir.