8.3: Öğrenci Dağılımı

Popülasyon standart sapması, birçok günlük istatistik örneğinde nadiren bilinir. Örneklem boyutları büyük olduğunda, orijinal değere yeterince yakın sonuçlar sağlayan bir güven aralığı kullanarak popülasyon standart sapmasını tahmin etmek kolaydır. Ancak, istatistikçiler örneklem büyüklüğü küçük olduğunda sorunlarla karşılaştılar. Küçük bir örneklem boyutu, güven aralığında yanlışlıklara neden oldu.

Student t dağılımı, İrlanda’nın Dublin kentindeki Guinness bira fabrikasından William S. Goset (1876-1937) tarafından, örneklem büyüklükleri küçük olduğunda popülasyon standart sapmasını tahmin etmek için geliştirilmiştir. Bu dağıtımın adı, Gosset tarafından kullanılan “Öğrenci” takma adından gelir.

Student t dağılımı, σ tahmin etmek için s kullanıldığında kullanılır. Ortalama μ ile yaklaşık olarak normal dağılım gösteren ve bilinmeyen popülasyon standart sapma σ ve t skorları hesaplanan n büyüklüğünde basit bir rastgele örneklem alınırsa, t skorları n – 1 serbestlik derecesi ile Öğrenci t dağılımını takip eder. T skoru, z skoruna benzer şekilde yorumlanır. Bir değerin ortalama μ ne kadar uzakta olduğunu ölçer. Her örneklem büyüklüğü n için farklı bir Student t dağılımı vardır.

T puanı veya istatistiği şu şekilde verilir:

Student t dağılımının özellikleri:

1. Student t dağılımının grafiği standart normal eğriye benzer.
2. Student t dağılımının ortalaması sıfırdır ve dağılım sıfır civarında simetriktir.
3. Student t dağılımının kuyruklarında standart normal dağılımdan daha fazla olasılığa sahiptir, çünkü t dağılımının yayılması standart normalden daha büyüktür. Bu nedenle, Student t dağılım eğrisi, standart normal dağılımın grafiğinden daha kuyruklarda daha kalın ve merkezde daha kısadır.
4. Student t dağılımının tam şekli, serbestlik derecelerine bağlıdır. Serbestlik dereceleri arttıkça, Student t dağılımının grafiği daha çok standart normal dağılımın grafiğine benzer hale gelir.
5. Bireysel gözlemlerin altında yatan popülasyonun, bilinmeyen bir popülasyon ortalaması μ ve bilinmeyen popülasyon standart sapması σ ile normal olarak dağıldığı varsayılmaktadır.

Bu metin şuradan uyarlanmıştır: Bölüm 8.2, Öğrencinin t dağılımını kullanan Tek Bir Popülasyon Ortalaması, <a href="https://openstax.org/books/introductory-statistics/pages/8-2-a-single-population-mean-using-the-student-t-distribution">Giriş İstatistikleri, Openstax,