İkinci Benzersizlik Teoremi

Birkaç farklı iletkenin belirli bir yük yoğunluğuna sahip olduğu bir bölgeyi düşünelim. İkinci benzersizlik teoremi, her bir iletken üzerindeki toplam yük ve iletkenler arasındaki bölgedeki yük yoğunluğu bilindiği takdirde elektrik alanın benzersiz bir şekilde belirlenebileceğini ifade eder.

Buna karşın, elektrik alanın benzersiz olmadığını düşünelim ve Gauss'un yasasını iletkenler arasındaki bölgede çeşitleme şeklinde ve her bir iletkeni çevreleyen yüzey üzerinde bütünlemli olarak uygulayalım. En dış sınır üzerinde bütünlem yapıldığında, yük tüm iletkenlerdeki toplam yükü ve iletkenler arasındaki bölgedeki yük yoğunluğunu içerir.

Eğer üçüncü bir alan, iki alan arasındaki fark olarak tanımlanırsa, üçüncü alanın çeşitlemesi ve üçüncü alanın bütünlem formu sıfır olur. Üçüncü alanın çeşitlemesi için ifadeyi elde etmek için çarpma kuralları kullanılır ve bu alanla ilişkilendirilmiş potansiyel elde edilir. Potansiyel alanla ifade edilebilir ve üçüncü alanın çeşitlemesinin sıfır olması uygulandığında elektrik alanın büyüklüğünün karesini verir.

Bu ifade, bölgenin hacmi üzerinde bütünlenir ve çeşitleme teoremi hacim bütünlemini yüzey bütünlemi olarak yeniden yazmak için uygulanır. Üçüncü alanın yüzey bütünlemi sıfır olduğunu hatırlayarak, üçüncü alanın büyüklüğünün her yerde sıfır olduğu sonucuna varılır. Bu, ilk iki alanın eşit olduğunu gösterir ve çözümün benzersizliğini kanıtlar.