$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
Bir vektör alanı için bir hattın integrali, bir vektör fonksiyonunun bir tanımlı yol boyunca bir sonsuz küçük yer değiştirme vektörü ile nokta çarpımının integrali olarak tanımlanır. Eğer tanımlı yol kapalı ise, integraler kapalı-hat integraline indirgenir. Vektör alanının kapalı-contour integrali, vektör alanının kapalı yol etrafındaki dönüşümü terimleriyle ifade edilir. Her kapalı yol etrafındaki dönüşümü sıfır olan bir vektör, korunumlu bir alan olarak adlandırılırken, bir kapalı yol etrafındaki dönüşümü sıfır olmayan bir vektör, korunumlu olmayan bir alan olarak adlandırılır. Örneğin, bir kuvvetin tanımlı yol boyunca lineer integrali iş çıkarır. Bir kapalı yol için, alan veya alan karşısında yapılan net iş sıfırdır.
Bir yüzey integrali, bir vektör fonksiyonunun bir tanımlı yüzey üzerindeki bir sonsuz küçük alan vektörü ile nokta çarpımının integralidir. Alan vektörü, her zaman bulunduğu konumda yüzeyine dik olarak yönlendirilir. Bir vektörün yüzey integrali, bu vektörün yüzey üzerinden geçen akışıdır. Eğer tanımlı yol veya yüzey kapalı ise, integraler kapalı-yüzey integraline indirgenir. Kapalı bir yüzey için, alan vektörünün yönü dışarıya doğru işaret eder. Açık yüzeyler için, yön yüzeyi çevreleyen kontura bağlıdır. Alan vektörünün yönü her zaman yüzeye dik olacak şekilde ve kontur tarafından çevrelenen bölgeden dışarıya doğru işaretlenir. Sağ el kuralına göre, eğer parmaklar seyahat yönünde ise ve avuç içi yüzeyin içine bakıyorsa, baş parmak pozitif alan vektörü işaret eder. Örneğin, bir akışkanın yoğunluğunun ve hızının çarpımı olan bir vektör fonksiyon düşünün. Bu vektörün yüzey integrali, bu vektörün yüzey üzerinden geçen akışını hesaplamak için kullanılabilir.
Vektör alanlarının yüzey ve hat integrali, skaler alanlarınkiyle karşılaştırıldığında enerji veya madde akışıyla ilgili doğrudan bir fiziksel yorumu olduğu için fizikte daha önemlidir. Skaler alanlar, sadece büyüklükle temsil edilen fiziksel nicelikleri temsil eden matematiksel varlıklardır, örneğin sıcaklık, basınç veya elektriksel potansiyel gibi. Bir skaler alanın hattı integrali, fonksiyonun etki alanının alanının toplamına ilişkin olarak fonksiyonun alanında bir yolda entegrasyon yapar. Örneğin, bir yolun sıcaklığına göre çizgi integrali, yol boyunca kazanılan veya kaybolan ısı miktarını temsil eder. Benzer şekilde, bir skaler alanın yüzey integrali, fonksiyonun alanının alanının toplamı olarak fonksiyonun alanında bir yüzey üzerinde entegrasyon yapar. Örneğin, bir yüzeyin üzerindeki sıvı yoğunluğunun yüzey integrali, yüzeyden geçen sıvı miktarının toplamını temsil eder. Ancak, skaler alan integralinin doğrudan fiziksel yorumu, vektör alan integralinin yorumuna kıyasla sınırlıdır, bu da vektör alan integralinin fizikte daha önemli olduğu anlamına gelir.
Bir skaler fonksiyon ve sonsuz küçük bir hacim arasındaki ürüne integral, hacim integralidir. Örneğin, yoğunluk fonksiyonun hacim integrali toplam kütleyi verir. Benzer şekilde, enerji yoğunluğunun hacim integrali, hacimde depolanan toplam enerjiyi temsil eder. Hacim integralinde skaler fonksiyon, skaler fonksiyonlarının entegrallerinin kombinasyonuna indirgenir.
