2.18
Doğrusallaştırma, karmaşık, doğrusal olmayan fonksiyonları referans noktalarına yakın doğrusal modellerle değiştirerek basitleştirir.
Örneğin, 4 girdideki değeri 2 çıktı veren bir karekök fonksiyonunu ele alalım. Bu girdi, referans noktası olarak hizmet verir. Ancak girdi 4.1 olduğunda, kare kök fonksiyonunu tam olarak değerlendirmek zordur.
Bu tür durumlarda, doğrusallaştırma, bir referans noktasına yakın fonksiyonu o noktadaki teğet doğrusu kullanarak yaklaştırır. Bu teğet doğru, fonksiyonun referans noktasındaki değeri artı referans noktasındaki türevinin çarpımı ve ondan küçük değişim (x−a) ile tanımlanır.
X'teki değeri 4.1'e yaklaştırmak için bu teğet çizgi ifadesi kullanılır.
İlk olarak, fonksiyonun değeri ve türevi a'da hesaplanır. O zaman x ile a arasındaki fark bulunur.
Bu üç terimin birleştirilmesi yaklaşık bir değer verir.
Bu tahmin, 4.1'in gerçek karekökü ile çok yakın bir şekilde eşleşiyor ve farkı çok azdır. Bu, fonksiyonlar tam olarak değerlendiremeyecek kadar karmaşık olduğunda doğrusal ve yaklaşım yönteminin nasıl çalıştığını göstermek için basit bir örnek olarak hizmet eder.
Doğrusallaştırma, karmaşık ve doğrusal olmayan fonksiyonları, seçilen bir referans noktasının yakınında daha basit doğrusal modellerle yaklaşık olarak temsil etmek için kullanılan matematiksel bir tekniktir. Bu yöntem, bir fonksiyonun tam olarak hesaplanması zor olsa da belirli bir giriş değerine yakın davranışının, o noktadaki teğet doğrusuyla çoğu zaman yüksek doğrulukla yaklaşık olarak temsil edilebileceği düşüncesine dayanır. Bu yaklaşım, özellikle bilinen bir değerden küçük sapmalar söz konusu olduğunda özellikle kullanışlıdır.
Giriş değeri dört olduğunda değeri tam olarak bilinen karekök fonksiyonunu ele alalım. Bu giriş değeri, hem fonksiyonun değeri hem de değişim hızı bu noktada kolaylıkla belirlenebildiği için uygun bir referans noktasıdır. Buna karşılık, 4,1 gibi referans noktasına yakın bir giriş değerinde fonksiyon değerinin bulunması, hesaplama araçları olmaksızın kolay değildir. Doğrusallaştırma, bu güçlüğü, orijinal fonksiyonun referans noktasına yakın bölgede teğet doğrusu ile değiştirilmesi yoluyla giderir.
Teğet doğrusu yaklaşımı, üç temel bileşen kullanılarak oluşturulur: referans giriş değerindeki fonksiyon değeri, aynı noktadaki fonksiyonun türevi ve referans noktasına göre giriş değişkenindeki küçük değişim. Bu bileşenler bir araya gelerek doğrusallaştırma formülünü oluşturur,
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
bu formül, fonksiyonun referans giriş değerine yakınındaki değerini tahmin etmeyi sağlar. Bu ifadeye referans noktasına yakın yeni giriş değeri yerine konulduğunda, orijinal doğrusal olmayan fonksiyon doğrudan hesaplanmadan yaklaşık bir değer elde edilir.
Karekök örneğinde, öncelikle referans giriş değerindeki fonksiyon değeri ve türevi hesaplanır; ardından yeni giriş değeri ile referans değer arasındaki fark belirlenir. Bu niceliklerin birleştirilmesi sonucunda, 4,1’in karekökünün gerçek değerine son derece yakın bir tahmini değer elde edilir. Ortaya çıkan küçük fark, doğrusallaştırmanın hem etkinliğini hem de sınırlamalarını açıkça göstermektedir. Bu örnek, giriş değeri seçilen referans noktasına yeterince yakın kaldığı sürece, fonksiyonların tam olarak hesaplanmasının zor olduğu durumlarda doğrusallaştırmanın ne kadar doğru ve verimli yaklaştırmalar sağladığını ortaya koymaktadır.
Doğrusallaştırma, karmaşık, doğrusal olmayan fonksiyonları referans noktalarına yakın doğrusal modellerle değiştirerek basitleştirir.
Örneğin, 4 girdideki değeri 2 çıktı veren bir karekök fonksiyonunu ele alalım. Bu girdi, referans noktası olarak hizmet verir. Ancak girdi 4.1 olduğunda, kare kök fonksiyonunu tam olarak değerlendirmek zordur.
Bu tür durumlarda, doğrusallaştırma, bir referans noktasına yakın fonksiyonu o noktadaki teğet doğrusu kullanarak yaklaştırır. Bu teğet doğru, fonksiyonun referans noktasındaki değeri artı referans noktasındaki türevinin çarpımı ve ondan küçük değişim (x−a) ile tanımlanır.
X'teki değeri 4.1'e yaklaştırmak için bu teğet çizgi ifadesi kullanılır.
İlk olarak, fonksiyonun değeri ve türevi a'da hesaplanır. O zaman x ile a arasındaki fark bulunur.
Bu üç terimin birleştirilmesi yaklaşık bir değer verir.
Bu tahmin, 4.1'in gerçek karekökü ile çok yakın bir şekilde eşleşiyor ve farkı çok azdır. Bu, fonksiyonlar tam olarak değerlendiremeyecek kadar karmaşık olduğunda doğrusal ve yaklaşım yönteminin nasıl çalıştığını göstermek için basit bir örnek olarak hizmet eder.
From Chapter 2:
Now Playing
Differentiation Rules
329 Views
Differentiation Rules
692 Views
Differentiation Rules
508 Views
Differentiation Rules
367 Views
Differentiation Rules
937 Views
Differentiation Rules
372 Views
Differentiation Rules
369 Views
Differentiation Rules
278 Views
Differentiation Rules
290 Views
Differentiation Rules
308 Views
Differentiation Rules
294 Views
Differentiation Rules
399 Views
Differentiation Rules
270 Views
Differentiation Rules
424 Views
Differentiation Rules
653 Views
See More