Uzaklık Problemi

Bir cismin hızının zaman içinde değişmesi durumunda, kat edilen toplam uzaklık, kısa zaman dilimleri boyunca küçük yer değiştirme aralıklarının toplanmasıyla belirlenebilir. Bu yaklaşım, sayısal toplama ve integral hesabı kullanılarak gerçek uzaklığın yaklaşık olarak hesaplanmasını sağlar. Toplam yer değiştirmenin bir tahmini, düzenli aralıklarla hızın ölçülmesi ve her bir hız değerinin karşılık gelen zaman aralığıyla çarpılması yoluyla elde edilebilir.

Bir koşucunun bir yarışın ilk üç saniyesinde hızlandığı varsayıldığında, her yarım saniyede bir yapılan sürat ölçümleri süratin 0’dan 6,2 m/s’ye yükseldiğini göstermektedir. Tahmin yöntemlerinden biri, sol uç noktadaki hız değerlerinin kullanılmasıdır; bu yöntemde her hız değeri 0,5 s’lik zaman aralığıyla çarpılır ve yaklaşık 10,55 m uzaklık elde edilir.

Bir diğer yöntem ise sağ uç noktadaki hız değerlerini kullanır ve bu yöntemle biraz daha yüksek bir tahmin olan 13,65 m’lik bir uzaklık elde edilir. Gerçekte kat edilen uzaklık bu iki tahmin arasında yer alır ve hız ölçümlerinin daha sık yapılması, tahminin doğruluğunu artırır.

Uzaklığın daha hassas biçimde belirlenmesi, limit kavramına dayanır. Ölçüm sayısı arttıkça, hız değerlerinin küçük zaman aralıklarıyla çarpımlarının toplamının limiti alınarak kesin yer değiştirme hesaplanabilir. Matematiksel olarak bu şu şekilde ifade edilir:

\begin{equation*}d = \lim_{n \to \infty} \sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_{i-1})\,\Delta t = \lim_{n \to \infty}\sum_{\textit{i}=1}^{\textit{n}} f(t_i)\,\Delta t\end{equation*}

\end{document} 

Bu limit, integralin Riemann toplamı tanımına karşılık gelir ve kat edilen toplam uzaklığın hızın zamana göre integrali olduğunu göstermektedir. Zaman aralıkları sonsuz derecede küçük hale geldikçe, bu toplam tam olarak integrale yakınsar ve sayısal toplama yöntemlerinden kaynaklanan yaklaştırma hatası ortadan kalkar.