Problem Çözümü: Hacim

Bir jet uçağının kanadına monte edilmiş bir yakıt deposunun hacmi, dönel cisimler kavramı kullanılarak modellenebilir. Bu durumda depo, matematiksel bir fonksiyonla tanımlanan iki boyutlu bir bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir. Bölge, eksen boyunca 0 ile 2 m arasında uzanır ve ortaya çıkan üç boyutlu şekil, dönme eksenine göre simetriktir. Sınır eğrisi doğrudan eksen üzerinde sonlandığından, hacmin belirlenmesinde disk yöntemi uygun bir tekniktir.

Disk yöntemi kullanıldığında, katı kavramsal olarak x eksenine dik doğrultuda alınan sonsuz sayıda son derece ince dairesel dilime ayrılır. Her bir dilim, yarıçapı o konumdaki tanımlayan fonksiyonun değerine eşit olan bir disk oluşturur. Her diskin alanı, π sayısının yarıçapın karesiyle çarpımına eşittir. Her bir disk deponun yalnızca küçük bir bölümünü temsil etmesine rağmen, tüm disklerin bir araya gelmesi toplam hacmi oldukça iyi yaklaştırır.

Toplam hacmi belirlemek için, tüm disklerin alanları deponun uzunluğu boyunca integral alma yoluyla toplanır. Deponun şeklini tanımlayan fonksiyonun karesi alındığında, elde edilen ifade, yatay konumun karesi ile iki ile bu konum arasındaki farkın çarpımı olan bir sabitle çarpılan bir ifadeye sadeleşir. Bu ifade daha sonra açılarak değişkenin üçüncü ve dördüncü kuvvetlerini içeren terimler üretilir. Bu terimlerin integrali alınarak, hacmin integral ekseni boyunca nasıl biriktiğini gösteren bir antitürev elde edilir.

0 ile 2 m arasındaki belirli integralin hesaplanması ve sınır değerlerinin yerine konulması sayısal bir sonuç ortaya koyar. Basitleştirme işlemlerinin ardından, hesaplanan hacim yaklaşık 1 m^3 olarak bulunur. Bu değer, yakıt deposunun toplam iç kapasitesini temsil eder. Bu tür hesaplamalar, yakıt kapasitesinin belirlenmesi, ağırlık dağılımının dengelenmesi ve genel uçak performansının değerlendirilmesi açısından hassas hacim tahminlerinin gerekli olduğu havacılık ve uzay mühendisliğinde büyük önem taşır.