القياس العلمي ومهارات المختبر

الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد

تأخذ بعض تجارب الكيمياء شكل تغيير مباشر لخاصية واحدة من النظام الذي تدرسه والمعروف باسم المتغير المستقل ، مثل درجة الحرارة ، وقياس التأثيرات على خاصية أخرى ، تعرف أيضا باسم المتغير التابع ، مثل الحجم. بمجرد جمع البيانات ، يجب أن يكون التفاعل بين المعلمتين كميا - أو تحويله إلى نموذج يمكن تقييمه - ومقارنته بالعلاقات الأخرى.

يمكن استخدام الرسوم البيانية ثنائية الأبعاد لاشتقاق أنواع معينة من العلاقات الرياضية بين خاصيتين أو لإثبات عدم وجود مثل هذه العلاقة بينهما. سيحدد التحليل في النهاية كيف يتغير المتغير التابع استجابة للمتغير المستقل. في مثال ضبط درجة حرارة السائل أو الغاز ومراقبة التغيرات في حجمه ، تكون درجة الحرارة هي المتغير المستقل ، والحجم هو المتغير التابع.

لإنشاء رسم بياني ثنائي الأبعاد ، يجب أن يكون لكل نقطة بيانات قيمة تعرف باسم الإحداثيات لكل من المتغيرات التابعة والمستقلة. يتم رسم المتغير المستقل على المحور x ، ويتم رسم المتغير التابع على المحور y. يتم عمل هذه المخططات بسهولة في برنامج جداول البيانات ، والذي يمكن استخدامه أيضا لتحليل البيانات المرسومة.

تركيب المنحنى

بمجرد رسم مجموعة بيانات على رسم بياني ثنائي الأبعاد ، يمكن استخدام ملاءمة المنحنى لإنشاء معادلة ، أو وظيفة ، للمتغير التابع من حيث المتغير المستقل. تمثل الوظائف نموذجا رياضيا يصمم البيانات التي اشتقت منها بشكل أفضل. تركيب المنحنى هو تقنية العثور على دالة تنتج خطا يتطابق بشكل جيد مع نمط نقاط البيانات. يحتوي برنامج جداول البيانات على العديد من أدوات تركيب المنحنى ، والتي يشار إليها باسم "الأنسب". عادة ما يكون هذا تحليلا خطيا للانحدار للمربعات الصغرى ، على الرغم من أن معظم البرامج تقدم أيضا انحدار المربعات الصغرى غير الخطية.

يمكن التحقق من دقة المعادلة الخطية الأكثر ملاءمة عن طريق توصيل قيم x لنقاط البيانات ومقارنة النتائج "النظرية" للمعادلة بالقيم y الفعلية لنقاط البيانات. عادة ما يحسب برنامج جداول البيانات قيمة معامل التحديد (R ² ) للوظيفة ، مما يوضح مدى تطابق الدالة مع نقاط البيانات. كلما اقتربت قيمة R² من 1 ، كان ذلك أفضل ملاءمة للانحدار الخطي. تحتوي الوظائف الأخرى على طرق أكثر تخصصا لتحديد مدى ملاءمة الوظيفة للبيانات.

ويتطلب تحديد عدم اليقين في القيم التابعة المحسوبة من دالة الملاءمة الأفضل تقنيات معقدة "لانتشار الخطأ". ومع ذلك ، من الممكن حساب عدم اليقين داخل المعادلة في شكل الانحراف المعياري لكل من الميل وتقاطع y لدالة أفضل ملاءمة. يتم تنفيذ ذلك عادة باستخدام أداة مختلفة عن تلك المستخدمة لإنشاء مخطط ثنائي الأبعاد.

الانحراف المعياري

يصف الانحراف المعياري مقدار التباين الموجود في مجموعة من القيم. يتم استخدام الانحراف المعياري للسكان (σ) عندما تكون هناك بيانات من كل عضو من مجموعة محدودة ، مثل كتلة كل رخام في كيس من الرخام. يتم استخدام نموذج الانحراف المعياري (s) لجميع الحالات الأخرى وهو حساب الانحراف المعياري الافتراضي في برنامج جداول البيانات. ¹ يمكنك افتراض أن "الانحراف المعياري" يشير إلى نموذج الانحراف المعياري.

يفترض أن يتبع خطأ القياس العشوائي توزيعا "طبيعيا" تقريبا ، حيث يقع حوالي 68٪ من مجموعة القيم ضمن نطاق انحراف معياري واحد على جانبي المتوسط ، و 95٪ من القيم تقع ضمن انحرافين معياريين على جانبي المتوسط ، و 99.7٪ من القيم تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية على جانبي المتوسط. وبالتالي ، فإن الانحراف المعياري هو طريقة مفيدة لوصف الخطأ وعدم اليقين.

معادلة عينة الانحراف المعياري هي:

في هذه المعادلة ، N هو عدد القيم. هو متوسط (أو متوسط) القيم. و x_i يمثل كل قيمة على حدة. وبالتالي ، لحساب الانحراف المعياري يدويا ، احسب متوسط مجموعة القيم ، واطرح المتوسط من كل قيمة ، ومربع كل فرق ، وأضف الفروق التربيعية ، واقسم المجموع الإجمالي على واحد أقل من عدد القيم ، وخذ الجذر التربيعي لحاصل القسمة كلما اقترب s من الصفر ، قل الاختلاف بين القيم. إذا تم إدخال القيم في برنامج جداول البيانات ، فيمكن حساب الانحراف المعياري من داخل البرنامج.

يعتمد عدد الأرقام المعنوية في الانحراف المعياري على القيم المخصصة. عند الإبلاغ عن الانحراف المعياري لمجموعة من نقاط البيانات المأخوذة في نفس الظروف ، يجب أولا تحديد العدد المناسب من الأرقام المعنوية في القيمة المتوسطة. ثم يتم تقريب الانحراف المعياري إلى نفس عدد المنازل العشرية مثل المتوسط. بالنسبة لمجموعة من الأحجام ذات الأربعة أرقام معنوية ، بمتوسط 15.361 مل ، وانحراف معياري قدره 0.2313 ، سيتم الإبلاغ عن المتوسط والانحراف المعياري على أنه 15.36 مل ± 0.23 مل.

عند الإبلاغ عن الانحراف المعياري للمتوسط وتقاطع y لدالة مناسبة أفضل تحددها تحليل المربعات الصغرى ، وهي الطريقة المعتادة لبرامج جداول البيانات ، فإن الخانة العشرية الأولى للانحراف المعياري هي آخر رقم معنوي للمتوسط أو تقاطع y. ومن ثم، ينبغي تقريب الانحراف المعياري إلى منزلة عشرية واحدة معنوية، وينبغي تقريب الميل أو التقاطع y إلى الخانة العشرية المقابلة. على سبيل المثال، إذا كان المنحدر 0.1691 L·K^-1 وكان له انحراف معياري قدره 0.00512، فيجب الإبلاغ عن المنحدر على أنه 0.169 L·K^-1 ± 0.005 L·K^-1.

إذا كان الانحراف المعياري للمنحدر أو تقاطع y أصغر بكثير من قيمته المقابلة لدرجة أن اتباع هذه القاعدة سيعطي أرقاما أكثر دلالة للميل أو تقاطع y مما تسمح به بيانات القياس الأصلية ، فعندئذ حدد بدلا من ذلك الأرقام المعنوية للميل أو تقاطع y من قيم x و y وتقريب الانحراف المعياري إلى رقم معنوي واحد. وبالتالي ، بالنسبة لميل 0.1691 L·K ^-1 ، وانحراف معياري قدره 0.0000512 ، وقيم x و y بأربعة أرقام معنوية ، يجب الإبلاغ عن المنحدر على أنه 0.1691 L·K ^-1 ± 0.00005 L·K ^{- 1}. في هذه الحالة ، لا بأس أن تحتوي القيمة المحسوبة وانحرافها المعياري على عدد مختلف من المنازل العشرية. ضع في اعتبارك أن طريقة المربعات الصغرى تستخدم كلا من قيم x و y لحساب الميل وتقاطع y.

عند الإبلاغ عن الانحراف المعياري كنطاق عدم يقين ، تأكد من ملاحظة أن عدم اليقين يمثل انحرافا معياريا واحدا. يخبر هذا القارئ أن هناك حوالي 68٪ احتمال أن تقع القيمة الحقيقية للقياس ضمن هذا النطاق من المتوسط ، بافتراض التوزيع الطبيعي. قد يكون من الأنسب في كثير من الأحيان الإبلاغ عن عدم اليقين على أنه انحرافين معياريين عن المتوسط ، حيث يزيد ذلك من الاحتمال إلى حوالي 95٪. للقيام بذلك ، ما عليك سوى ضرب الانحراف المعياري في اثنين قبل تقريبه إلى العدد المناسب من الأرقام المعنوية.

المراجع

1. هاريس ، العاصمة (2015). التحليل الكيميائي الكمي. نيويورك ، نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه.

تعد ترجمة النتائج التجريبية من نقاط البيانات إلى التمثيلات المرئية ، مثل الرسوم البيانية ، أمرا ضروريا لتحديد العلاقة بين خاصيتين أو أكثر. تسمى هذه الخصائص المتغيرات. عندما يكون هناك متغيران ، يطلق على الرسم البياني الذي تم إنشاؤه من البيانات اسم ثنائي الأبعاد. يحتوي التمثيل البياني على محورين. يتم رسم المتغير المستقل على المحور x ، ويتم رسم المتغير التابع على المحور y.

خذ ، على سبيل المثال ، هذه البيانات النموذجية لدرجة حرارة الغاز وحجمه. يعتمد حجم الغاز على درجة الحرارة. ومن ثم، يمكننا رسم درجة الحرارة المقاسة على المحور x والحجم على المحور y.

عندما تكون هناك عدة نقاط بيانات بنفس قيمة x ، مثل قياس الحجم عدة مرات عند درجة حرارة واحدة ، فإننا نحسب أيضا الانحراف المعياري لهذه القياسات. الانحراف المعياري هو قيمة إحصائية تشير إلى مقدار التباين الموجود في مجموعة من القيم.

يتم حساب الانحراف المعياري باستخدام هذه الصيغة، حيث n هو عدد نقاط البيانات، و x bar هو متوسط قيمة نقاط البيانات، و x_i يمثل كل نقطة بيانات على حدة. يمكنك حساب الانحراف المعياري يدويا ، أو يمكن لبرنامج جداول البيانات حسابه تلقائيا. كلما اقترب الانحراف المعياري من 0 ، كلما اقتربت نقاط البيانات من القيمة المتوسطة. إذا كان الانحراف المعياري يساوي 0 ، فإن جميع نقاط البيانات التي تم إدخالها لها نفس القيمة.

لنلق نظرة على القيم المتوسطة والانحرافات المعيارية لقياسات الحجم عند كل درجة حرارة في مجموعة البيانات. يمكننا تلخيص كل مجموعة من نقاط البيانات على أنها متوسط زائد أو ناقص الانحراف المعياري. نحدد الأرقام المعنوية لكل متوسط من القياسات المقابلة ونقرب القيم المتوسطة وفقا لذلك.

يجب أن يكون للانحراف المعياري لكل مجموعة نفس عدد المنازل العشرية مثل المتوسط ، لذلك نقوم بتقريب كل انحراف معياري إلى خانة المئات. لتحديد العلاقة بين متغيرين بيانيا ، يمكننا ملاءمة البيانات بوظيفة أفضل ملاءمة.

يتم إنشاء الوظيفة تلقائيا بواسطة برنامج جداول البيانات ويمكن أن تأخذ شكل خط اتجاه خطي أو دالة متعددة الحدود أو دالة أسية أو لوغاريتمية. في حالة بيانات درجة الحرارة والحجم ، تكون العلاقة خطية. لذلك ، يتم ملاءمة نقاط البيانات عن طريق الانحدار الخطي للمربعات الصغرى. سيعرض برنامج جداول البيانات المعادلة للحصول على أفضل خط ملاءمة وقيمة r-squared. كلما اقتربت قيمة r تربيع من 1 ، كان ملاءمة البيانات أفضل.

بعد ذلك ، يمكنك استخدام برنامج جدول البيانات الخاص بك للعثور على الانحرافات المعيارية للمنحدر ، وتقاطع y ، وقيمة y المحسوبة. لتحديد الأرقام المعنوية للقيم في المعادلة ، نتبع قاعدة بسيطة. يتوافق الرقم الأخير المعنوي لكل قيمة مع أول منزلة عشرية مهمة لانحرافها المعياري.

وهكذا ، نقرب المنحدر إلى خانة الألف وتقاطع y إلى خانة أعشار ، ونقرب الانحرافات المعيارية لمطابقتها. منحدرنا هو 0.167 +/- 0.003 لتر لكل كلفن ، واعتراضنا y هو -40.6 +/- 1.2 لتر. سيتم تقريب أي قيمة y محسوبة إلى خانة الأعشار وستكون +/- 0.8 لتر. تصف هذه المعادلة العلاقة بين درجة الحرارة وحجم الغاز.

في هذا المختبر ، ستقوم بإنشاء مجموعة بيانات من المتغيرات التابعة والمستقلة عن طريق قياس قطر ومحيط أحجام مختلفة من الأكواب. ستستخدم بعد ذلك هذه البيانات لإنشاء مخطط مبعثر وإجراء انحدار خطي ، مع مراعاة أهمية الأرقام المهمة. ستمارس أيضا مهارات معملية ، مثل التصفية وقياس الحجم باستخدام الماصات ، مع الانتباه إلى عدم اليقين في القياسات والتحليل.