科学测量和实验室技能

二维图

一些化学实验采用直接改变您正在研究的系统的一种性质（也称为自变量，如温度）并测量对另一种性质（也称为因变量，如体积）的影响。收集数据后，必须量化两个参数之间的交互，或将其转换为可评估的形式，并与其他关系进行比较。

二维图可用于推导出两个属性之间某些类型的数学关系，或确定它们之间不存在这种关系。该分析最终将确定因变量如何响应自变量而变化。在调节液体或气体的温度并监测其体积变化的示例中，温度是自变量，体积是因变量。

要制作二维图形，每个数据点都必须具有一个称为因变量和自变量坐标的值。自变量绘制在 x 轴上，因变量绘制在 y 轴上。这些绘图很容易在电子表格软件中制作，也可用于分析绘制的数据。

曲线拟合

在二维图形上绘制数据集后，可以使用曲线拟合为因变量生成自变量的方程或函数。函数表示一个数学模型，该模型对派生数据的最佳建模。曲线拟合是一种查找函数的技术，该函数可生成与数据点模式匹配良好的线条。电子表格软件有各种曲线拟合工具，称为"最佳拟合"。这通常是线性最小二乘回归分析，尽管大多数软件也提供非线性最小二乘回归。

插入数据点的 x 值并将方程的"理论"结果与数据点的实际 y 值进行比较来检查最佳拟合线性方程的精度。电子表格软件通常会计算函数的决定系数 （R²） 值，该值显示函数与数据点的匹配程度。R² 值越接近 1，线性回归的拟合就越好。其他函数具有更专业的方法来确定函数与数据的拟合程度。

确定从最佳拟合函数计算的因值的不确定性需要复杂的 "误差传播" 技术。但是，可以以最佳拟合函数的斜率和 y 截距的标准差的形式计算方程内的不确定性。这通常使用与用于生成二维图的工具不同的工具来执行。

标准差

标准差描述一组值中存在的变异量。当存在来自有限总体的每个成员的数据时，使用总体标准差 （σ），例如一袋弹珠中每颗弹珠的质量。样本标准差 （s） 用于所有其他情况，并且是电子表格软件中的默认标准差计算。¹ 您可以假设"标准差"是指样本标准差。

假设随机测量误差遵循大致的"正态"分布，其中一组值的大约 68% 位于平均值两侧的一个标准差范围内，95% 的值位于平均值两侧的两个标准差范围内，99.7% 的值位于平均值两侧的三个标准差范围内。因此，标准差是描述误差和不确定性的有用方法。

样本标准差的方程式为:

在这个方程中，N 是值的数量; 是值的平均值（或平均值）;x_i 表示每个单独的值。因此，要手动计算标准差，请计算一组值的平均值，从每个值中减去平均值，平方每个差值，加上平方差，将总和除以小于值数的 1，然后取商的平方根。s 越接近零，值之间的差异就越小。如果将值输入到电子表格软件中，则可以在软件中计算标准差。

标准差中有效数字的数量取决于它所针对的值。在报告在相同条件下获取的一组数据点的标准差时，必须首先确定平均值中适当数量的有效数字。然后将标准差四舍五入到与平均值相同的小数位数。对于具有四个有效数字、平均值为 15.361 mL、标准差为 0.2313 的一组体积，平均值和标准差将报告为 15.36 mL ± 0.23 mL。

当报告由最小二乘分析确定的最佳拟合函数的均值和 y 截距的标准差时（这是电子表格软件的常用方法），标准差的第一个小数位是均值或 y 截距的最后一个有效数字。因此，标准差应四舍五入到一个小数位，斜率或 y 截距应四舍五入到相应的小数位。例如，如果斜率为 0.1691 L·^K-1，标准差为 0.00512，则斜率应报告为 0.169 L·^K-1 ± 0.005 L·^K-1。

如果斜率或 y 截距的标准差远小于其相应的值，以至于遵循此规则将为斜率或 y 截距提供比原始测量数据允许的更多的有效数字，则改为从 x 和 y 值确定斜率或 y 截距的有效数字，并将标准差四舍五入为一个有效数字。因此，对于斜率 0.1691 L·^K-1、标准差 0.0000512 以及具有四个有效数字的 x 和 y 值，斜率应报告为 0.1691 L·^K-1 ± 0.00005 L·K^{- 1}。在这种情况下，计算值及其标准差可以具有不同的小数位数。请记住，最小二乘法同时使用 x 和 y 值来计算斜率和 y 截距。

将标准差报告为不确定性范围时，请务必特别注意不确定性代表一个标准差。这告诉读者，假设呈正态分布，测量值的真实值大约有 68% 的可能性落在平均值范围内。通常，将不确定性报告为平均值的两个标准差可能更合适，因为这会将概率增加到 95% 左右。为此，只需将标准差乘以 2，然后将其四舍五入为适当数量的有效数字。

引用

1. 哈里斯，哥伦比亚特区（2015 年）。定量化学分析。纽约州纽约市:W.H. Freeman and Company。

将实验结果从数据点转换为可视化表示（如图表）对于确定两个或多个属性之间的关系至关重要。这些属性称为变量。当有两个变量时，从数据创建的图形称为二维。该图有两个轴。自变量绘制在 x 轴上，因变量绘制在 y 轴上。

以气体温度和体积的样本数据为例。气体的体积取决于温度。因此，我们将在 x 轴上绘制测得的温度，在 y 轴上绘制体积。

当有多个数据点具有相同的 x 值时，例如，如果我们在一个温度下多次测量体积，我们还会计算这些测量值的标准差。标准差是一个统计值，它表示一组值中存在的变异量。

标准差是使用此公式计算的，其中 n 是数据点的数量，x bar 是数据点的平均值，x_i 表示每个单独的数据点。您可以手动计算标准差，也可以使用电子表格程序自动计算标准差。标准差越接近 0，数据点越接近平均值。如果标准差等于 0，则所有输入的数据点都具有相同的值。

让我们看看数据集中每个温度下体积测量值的平均值和标准差。我们可以将每组数据点总结为平均值加上或减去标准差。我们从相应的测量值中确定每个平均值的显著数字，并相应地对平均值进行四舍五入。

每组的标准差必须与平均值具有相同的小数位数，因此我们将每个标准差四舍五入到百分位。为了以图形方式确定两个变量之间的关系，我们可以使用最佳拟合函数拟合数据。

该函数由电子表格软件自动生成，可以采用线性趋势线、多项式函数或指数或对数函数的形式。对于我们的温度和体积数据，这种关系是线性的。因此，数据点通过线性最小二乘回归进行拟合。您的电子表格程序将返回最佳拟合线和 r 平方值的方程。r 平方值越接近 1，数据的拟合效果越好。

接下来，您可以使用电子表格软件查找斜率的标准差、y 截距和计算的 y 值。为了确定方程中值的有效数字，我们遵循一个简单的规则。每个值的最后一个有效数字对应于其标准差的第一个有效小数位。

因此，我们将斜率四舍五入到千分之一位，将 y 截距四舍五入到十分之一位，然后四舍五入标准差以匹配。我们的斜率是 0.167 +/- 0.003 升/开尔文，我们的 y 轴截距是 -40.6 +/- 1.2 升。任何计算出的 y 值都将四舍五入到十分位，为 +/- 0.8 升。该方程描述了温度和气体体积之间的关系。

在本实验中，您将通过测量各种尺寸烧杯的直径和周长来创建因变量和自变量的数据集。然后，您将使用此数据创建散点图并执行线性回归，同时牢记有效数字的重要性。您还将练习实验室技能，例如使用移液器过滤和测量体积，并注意测量和分析中的不确定性。