Problemlösung: Volumen

Das Volumen eines Treibstofftanks an der Tragfläche eines Düsenflugzeugs lässt sich mithilfe des Konzepts der Rotationskörper modellieren. Der Tank entsteht durch die Rotation einer zweidimensionalen Region, die durch eine mathematische Funktion definiert ist, um die x-Achse. Die Region erstreckt sich entlang der Achse von 0 bis 2 m, und die resultierende dreidimensionale Form ist symmetrisch zur Rotationsachse. Da die Begrenzungskurve direkt an der Achse liegt, eignet sich die Scheibenmethode zur Volumenbestimmung.

Bei der Scheibenmethode wird der Körper gedanklich in unendlich viele extrem dünne Kreisscheiben unterteilt, die senkrecht zur x-Achse stehen. Jede Scheibe ist eine Kreisscheibe, deren Radius dem Funktionswert an dieser Position entspricht. Die Fläche jeder Scheibe ist proportional zu π multipliziert mit dem Quadrat des Radius. Obwohl jede einzelne Scheibe nur einen kleinen Teil des Tanks darstellt, nähert die Gesamtheit aller Scheiben das Gesamtvolumen sehr genau an.

Zur Bestimmung des Gesamtvolumens werden die Flächen aller Scheiben entlang der Tanklänge durch Integration summiert. Nach dem Quadrieren der Funktion, die die Form des Tanks beschreibt, vereinfacht sich der resultierende Ausdruck zu einer Konstanten multipliziert mit dem Quadrat der horizontalen Position und der Differenz zwischen zwei und dieser Position. Dieser Ausdruck wird anschließend expandiert, wodurch Terme der dritten und vierten Potenz der Variablen entstehen. Die Integration dieser Terme liefert eine Stammfunktion, die beschreibt, wie sich das Volumen entlang der Integrationsachse aufaddiert.

Die Auswertung des bestimmten Integrals zwischen 0 und 2 m sowie das Einsetzen der Integrationsgrenzen liefern ein numerisches Ergebnis. Nach Vereinfachung beträgt das berechnete Volumen etwa 1 m^3. Dieser Wert entspricht dem gesamten Volumen des Treibstofftanks. Solche Berechnungen sind in der Luft- und Raumfahrttechnik wichtig, da präzise Volumenabschätzungen notwendig sind, um Treibstoffkapazität, Gewichtsverteilung und die Gesamtleistung des Flugzeugs zu bestimmen.