Mesure scientifique et compétences de laboratoire

Graphes bidimensionnels

Certaines expériences de chimie prennent la forme de la modification directe d’une propriété du système que vous étudiez, également connue sous le nom de variable indépendante, comme la température, et de la mesure des effets sur une autre propriété, également connue sous le nom de variable dépendante, comme le volume. Une fois les données collectées, l’interaction entre les deux paramètres doit être quantifiée – ou convertie sous une forme qui peut être évaluée – et comparée à d’autres relations.

Les graphes bidimensionnels peuvent être utilisés pour dériver certains types de relations mathématiques entre deux propriétés ou pour établir qu’une telle relation n’existe pas entre elles. L’analyse déterminera finalement comment la variable dépendante change en réponse à la variable indépendante. Dans l’exemple de l’ajustement de la température d’un liquide ou d’un gaz et de la surveillance des changements de son volume, la température est la variable indépendante et le volume est la variable dépendante.

Pour créer un graphique bidimensionnel, chaque point de données doit avoir une valeur connue sous le nom de coordonnée pour les variables dépendantes et indépendantes. La variable indépendante est tracée sur l’axe des abscisses, et la variable dépendante est tracée sur l’axe des ordonnées. Ces tracés sont facilement réalisés dans un tableur, qui peut également être utilisé pour analyser les données tracées.

Ajustement de la courbe

Une fois qu’un ensemble de données a été tracé sur un graphique bidimensionnel, l’ajustement de courbe peut être utilisé pour générer une équation, ou fonction, pour la variable dépendante en fonction de la variable indépendante. Les fonctions représentent un modèle mathématique qui modélise le mieux les données à partir desquelles il est dérivé. L’ajustement de courbe est la technique qui consiste à trouver une fonction qui produit une ligne qui correspond bien au modèle de points de données. Les tableurs disposent de divers outils d’ajustement des courbes, ce que l’on appelle le « meilleur ajustement ». Il s’agit généralement d’une analyse de régression linéaire des moindres carrés, bien que la plupart des logiciels proposent également une régression non linéaire des moindres carrés.

La précision de l’équation linéaire la mieux ajustée peut être vérifiée en insérant les valeurs x des points de données et en comparant les résultats « théoriques » de l’équation aux valeurs y réelles des points de données. Les tableurs calculent généralement la valeur du coefficient de détermination (R²) de la fonction, ce qui indique dans quelle mesure la fonction correspond aux points de données. Plus la valeur de R² est proche de 1, meilleur est l’ajustement pour une régression linéaire. D’autres fonctions ont des méthodes plus spécialisées pour déterminer dans quelle mesure l’ajustement de la fonction est aux données.

Déterminer l’incertitude des valeurs dépendantes calculées à partir de la fonction la mieux ajustée nécessiterait des techniques compliquées de « propagation des erreurs ». Cependant, il est possible de calculer l’incertitude dans l’équation sous la forme de l’écart-type pour la pente et l’ordonnée à l’origine d’une fonction de meilleur ajustement. Cela se fait généralement avec un outil différent de celui utilisé pour générer un tracé bidimensionnel.

écart type

L’écart-type décrit la quantité de variation présente dans un ensemble de valeurs. L’écart-type de la population (σ) est utilisé lorsqu’il existe des données de chaque membre d’une population finie, telles que la masse de chaque bille dans un sac de billes. L’écart-type (s) de l’échantillon est utilisé pour tous les autres cas et constitue le calcul de l’écart-type par défaut dans le tableur. ¹ Vous pouvez supposer que l'« écart-type » fait référence à l’écart-type de l’échantillon.

On suppose que l’erreur de mesure aléatoire suit une distribution à peu près « normale », où environ 68 % d’un ensemble de valeurs se situent dans une plage d’un écart-type de chaque côté de la moyenne, 95 % des valeurs se situent dans deux écarts-types de chaque côté de la moyenne et 99,7 % des valeurs se situent dans trois écarts-types de chaque côté de la moyenne. Ainsi, l’écart-type est un moyen utile de décrire l’erreur et l’incertitude.

L’équation de l’écart-type de l’échantillon est la suivante :

est la moyenne (ou moyenne) des valeurs ; et x_i représente chaque valeur individuelle. Ainsi, pour calculer l’écart-type à la main, calculez la moyenne de l’ensemble des valeurs, soustrayez la moyenne de chaque valeur, mettez chaque différence au carré, additionnez les différences au carré, divisez la somme totale par un de moins que le nombre de valeurs et prenez la racine carrée du quotient. Plus s est proche de zéro, moins il y a de variation entre les valeurs. Si les valeurs sont saisies dans un tableur, l’écart-type peut être calculé à partir du logiciel.

Le nombre de chiffres significatifs dans un écart-type dépend des valeurs qu’il concerne. Lors de la déclaration de l’écart-type pour un groupe de points de données pris dans les mêmes conditions, il faut d’abord déterminer le nombre approprié de chiffres significatifs dans la valeur moyenne. L’écart-type est ensuite arrondi au même nombre de décimales que la moyenne. Pour un ensemble de volumes comportant quatre chiffres significatifs, une moyenne de 15,361 mL et un écart-type de 0,2313, la moyenne et l’écart-type seraient déclarés comme suit : 15,36 mL ± 0,23 mL.

Lors de la déclaration de l’écart-type de la moyenne et de l’ordonnée à l’origine pour une fonction de meilleur ajustement déterminée par l’analyse des moindres carrés, qui est la méthode habituelle pour les tableurs, la première décimale de l’écart-type est le dernier chiffre significatif de la moyenne ou de l’ordonnée à l’origine. Ainsi, l’écart-type doit être arrondi à une décimale significative, et la pente ou l’ordonnée à l’origine doit être arrondie à la décimale correspondante. Par exemple, si la pente est de 0,1691 L·^K-1 et qu’elle a un écart-type de 0,00512, la pente doit être indiquée comme 0,169 L·^K-1 ± 0,005 L·^K-1.

Si l’écart-type de la pente ou de l’ordonnée à l’origine est tellement plus petit que sa valeur correspondante que le respect de cette règle donnerait à la pente ou à l’ordonnée à l’origine plus de valeurs significatives que les données de mesure d’origine ne le permettaient, alors déterminez plutôt les valeurs significatives de la pente ou de l’ordonnée à l’origine à partir des valeurs x et y et arrondissez l’écart-type à un chiffre significatif. Ainsi, pour une pente de 0,1691 L·^{K-1, un écart-type} de 0,0000512 et des valeurs x et y avec quatre chiffres significatifs, la pente doit être déclarée comme 0,1691 L·^K-1 ± 0,00005 L·K^{- 1}. Dans ce cas, il est possible que la valeur calculée et son écart-type aient un nombre de décimales différent. Gardez à l’esprit que la méthode des moindres carrés utilise à la fois les valeurs x et y pour calculer la pente et l’ordonnée à l’origine.

Lorsque vous déclarez l’écart-type sous la forme d’une plage d’incertitude, assurez-vous de noter spécifiquement que l’incertitude représente un écart-type. Cela indique au lecteur qu’il y a environ 68 % de chances que la valeur réelle d’une mesure se situe dans cette plage de la moyenne, en supposant une distribution normale. Il peut souvent être plus approprié de déclarer l’incertitude comme deux écarts-types par rapport à la moyenne, car cela augmente la probabilité à environ 95 %. Pour ce faire, il suffit de multiplier l’écart-type par deux avant de l’arrondir au nombre approprié de chiffres significatifs.

références

1. Harris, D.C. (2015). Analyse chimique quantitative. New York, NY : W.H. Freeman et compagnie.

La traduction des résultats expérimentaux de points de données en représentations visuelles, comme des graphiques, est essentielle pour déterminer la relation entre deux ou plusieurs propriétés. Ces propriétés sont appelées variables. Lorsqu’il y a deux variables, un graphique créé à partir des données est dit bidimensionnel. Le graphique a deux axes. La variable indépendante est tracée sur l’axe des abscisses, et la variable dépendante est tracée sur l’axe des ordonnées.

Prenons, par exemple, cet exemple de données pour la température et le volume d’un gaz. Le volume du gaz dépend de la température. Ainsi, nous tracerions la température mesurée sur l’axe des x et le volume sur l’axe des y.

Lorsqu’il y a plusieurs points de données avec la même valeur x, par exemple si nous mesurons le volume plusieurs fois à une même température, nous calculons également l’écart-type de ces mesures. L’écart-type est une valeur statistique, qui indique la quantité de variation présente dans un ensemble de valeurs.

L’écart-type est calculé à l’aide de cette formule, où n est le nombre de points de données, x bar est la valeur moyenne des points de données et x_i représente chaque point de données individuel. Vous pouvez calculer l’écart-type à la main, ou un tableur peut le calculer automatiquement. Plus l’écart-type est proche de 0, plus les points de données sont proches de la valeur moyenne. Si l’écart type est égal à 0, tous les points de données saisis ont la même valeur.

Regardons les valeurs moyennes et les écarts-types des mesures de volume à chaque température de notre ensemble de données. Nous pouvons résumer chaque ensemble de points de données comme la moyenne plus ou moins l’écart-type. Nous déterminons les valeurs significatives pour chaque moyenne à partir des mesures correspondantes et arrondissons les valeurs moyennes en conséquence.

L’écart-type de chaque groupe doit avoir le même nombre de décimales que la moyenne, nous arrondissons donc chaque écart-type au centième. Pour déterminer graphiquement la relation entre deux variables, nous pouvons ajuster les données avec une fonction de meilleur ajustement.

La fonction est générée automatiquement par un tableur et peut prendre la forme d’une ligne de tendance linéaire, d’une fonction polynomiale ou d’une fonction exponentielle ou logarithmique. Dans le cas de nos données de température et de volume, la relation est linéaire. Ainsi, les points de données sont ajustés par la régression linéaire des moindres carrés. Votre tableur renverra l’équation de la droite la mieux ajustée et une valeur r au carré. Plus la valeur du r au carré est proche de 1, meilleur est l’ajustement des données.

Ensuite, vous pouvez utiliser votre tableur pour trouver les écarts-types de la pente, l’ordonnée à l’origine et la valeur y calculée. Pour déterminer les chiffres significatifs des valeurs de l’équation, nous suivons une règle simple. Le dernier chiffre significatif de chaque valeur correspond à la première décimale significative de son écart-type.

Ainsi, nous arrondissons la pente au millième près et l’ordonnée à l’origine aux dixièmes près, et nous arrondissons les écarts-types pour correspondre. Notre pente est de 0,167 +/- 0,003 litre par Kelvin, et notre ordonnée à l’origine est de -40,6 +/- 1,2 litres. Toute valeur y calculée sera arrondie au dixième de seconde et sera de +/- 0,8 litre. Cette équation décrit la relation entre la température et le volume d’un gaz.

Dans cet atelier, vous allez créer un ensemble de données de variables dépendantes et indépendantes en mesurant le diamètre et la circonférence de différentes tailles de béchers. Vous allez ensuite utiliser ces données pour créer un nuage de points et effectuer une régression linéaire, en gardant à l'esprit l'importance des chiffres significatifs. Vous mettrez également en pratique des compétences de laboratoire, comme le filtrage et la mesure du volume à l'aide de pipettes, en prêtant attention à l'incertitude des mesures et de l'analyse.