Distribution F

La distribution F tient son nom de Sir Ronald Fisher, un statisticien anglais. La statistique F correspond à un rapport (une fraction) caractérisé par deux ensembles de degrés de liberté : l’un associé au numérateur, l’autre au dénominateur. La distribution F est dérivée de la distribution t de Student. Les valeurs de la distribution F sont les carrés des valeurs correspondantes issues de la distribution t. L'ANOVA à un facteur généralise le test t en permettant la comparaison simultanée de plus de deux groupes. Il est préférable d'utiliser une ANOVA lorsqu'il y a plus de deux groupes, au lieu de réaliser plusieurs tests t par paires, car effectuer des tests multiples augmente le risque de commettre une erreur de type 1.

Deux estimations de la variance sont réalisées pour calculer le rapport F :

1. La variance inter-échantillons : Il s'agit d'une estimation de σ² obtenue en multipliant la variance des moyennes d'échantillons par n (lorsque les tailles d’échantillons sont égales). Lorsque les tailles d’échantillons diffèrent, la variance inter-échantillons est pondérée afin de tenir compte des différentes tailles. Cette variance est également appelée variation expliquée ou variation liée au traitement.
2. La variance intra-échantillons : Il s'agit d'une estimation de σ² calculée comme la moyenne des variances des échantillons (également appelée variance combinée ou variance résiduelle). Lorsque les tailles d'échantillons diffèrent, cette variance intra-échantillons est aussi pondérée. Cette variance est également appelée variation inexpliquée ou variation due à l'erreur.

• SS_between = somme des carrés représentant la variation entre les différents échantillons
• SS_within = somme des carrés représentant la variation au sein des échantillons due au hasard.

Ce texte est adapté de l'Openstax, Introductory Statistics, Section 13.2 The F Distribution and the F-Ratio.