2.18
ליניאריזציה מפשטת פונקציות מורכבות ולא ליניאריות על ידי החלפתן במודלים ליניאריים בקרבת נקודות ייחוס.
לדוגמה, נבחן פונקציית שורש ריבועי שערכה בקלט של 4 נותן פלט של 2. קלט זה משמש כנקודת ייחוס. אבל כאשר הקלט הוא 4.1, אז פונקציית השורש הריבועי קשה להערכה מדויקת.
במקרים כאלה, הליניאריזציה מקרבה את הפונקציה ליד נקודת ייחוס באמצעות קו המשיק בנקודה זו. קו המשיק הזה מוגדר על ידי ערך הפונקציה בנקודת הייחוס בתוספת מכפלת הנגזרת שלה בנקודת הייחוס והשינוי הקטן (x−a) ממנה.
כדי לקרב את הערך ב-x השווה ל-4.1, משתמשים בביטוי קו משיק זה.
ראשית, ערך הפונקציה ונגזרתה ב-a מחושבים. אז נמצא ההבדל בין x ל-a.
שילוב שלושת האיברים הללו נותן ערך משוער.
הערכה זו תואמת במידה רבה לשורש הריבועי האמיתי של 4.1, עם הבדל מינימלי. הוא משמש כדוגמה פשוטה להראות כיצד פועלת שיטת הליניאריזציה והקירוב כאשר פונקציות מסובכות מדי להערכה מדויקת.
ליניאריזציה היא טכניקה מתמטית המשמשת לקירוב פונקציות מורכבות ולא־ליניאריות באמצעות מודלים ליניאריים פשוטים יותר בסביבת נקודת ייחוס שנבחרה. השיטה מבוססת על הרעיון שלמרות שקשה לחשב פונקציה במדויק, התנהגותה בסמוך לערך קלט מסוים יכולה להיות מקורבת באופן טוב על ידי קו המשיק בנקודה זו. גישה זו שימושית במיוחד כאשר מתקיימות סטיות קטנות מערך ידוע.
נבחן את פונקציית השורש הריבועי, שעבורה הערך בקלט שערכו 4 ידוע במדויק. קלט זה משמש כנקודת ייחוס נוחה, מכיוון שגם ערך הפונקציה וגם קצב השינוי שלה ניתנים לחישוב בקלות בנקודה זו. עם זאת, חישוב ערך הפונקציה בקלט סמוך, כגון 4.1, אינו פשוט ללא כלי חישוב. ליניאריזציה מתמודדת עם קושי זה על ידי החלפת הפונקציה המקורית בקו המשיק בסמוך לנקודת הייחוס.
קירוב קו המשיק נוצר משלושה רכיבים: ערך הפונקציה בקלט הייחוס, נגזרת הפונקציה באותו קלט, והשינוי הקטן במשתנה הקלט מהנקודה הייחוסית. שילוב רכיבים אלה יוצר את נוסחת הליניאריזציה:
\begin{equation*}L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)\end{equation*}
נוסחה זו מספקת אומדן של ערך הפונקציה בסמוך לקלט הייחוס. על ידי הצבת הקלט הסמוך בביטוי, מתקבל ערך מקורב מבלי לחשב ישירות את הפונקציה הלא־ליניארית המקורית.
בדוגמת השורש הריבועי, תחילה מחושבים ערך הפונקציה והנגזרת בקלט הייחוס, ולאחר מכן ההפרש בין הקלט החדש לבין קלט הייחוס. שילוב כמויות אלה מניב ערך משוער הקרוב מאוד לשורש הריבועי האמיתי של 4.1. הפער הקטן מדגים הן את היעילות והן את המגבלות של הליניאריזציה. דוגמה זו ממחישה כיצד ליניאריזציה מאפשרת קירובים מדויקים ויעילים כאשר קשה לחשב פונקציות במדויק, בתנאי שהקלט נשאר קרוב לנקודת הייחוס שנבחרה.
ליניאריזציה מפשטת פונקציות מורכבות ולא ליניאריות על ידי החלפתן במודלים ליניאריים בקרבת נקודות ייחוס.
לדוגמה, נבחן פונקציית שורש ריבועי שערכה בקלט של 4 נותן פלט של 2. קלט זה משמש כנקודת ייחוס. אבל כאשר הקלט הוא 4.1, אז פונקציית השורש הריבועי קשה להערכה מדויקת.
במקרים כאלה, הליניאריזציה מקרבה את הפונקציה ליד נקודת ייחוס באמצעות קו המשיק בנקודה זו. קו המשיק הזה מוגדר על ידי ערך הפונקציה בנקודת הייחוס בתוספת מכפלת הנגזרת שלה בנקודת הייחוס והשינוי הקטן (x−a) ממנה.
כדי לקרב את הערך ב-x השווה ל-4.1, משתמשים בביטוי קו משיק זה.
ראשית, ערך הפונקציה ונגזרתה ב-a מחושבים. אז נמצא ההבדל בין x ל-a.
שילוב שלושת האיברים הללו נותן ערך משוער.
הערכה זו תואמת במידה רבה לשורש הריבועי האמיתי של 4.1, עם הבדל מינימלי. הוא משמש כדוגמה פשוטה להראות כיצד פועלת שיטת הליניאריזציה והקירוב כאשר פונקציות מסובכות מדי להערכה מדויקת.
From Chapter 2:
Now Playing
Differentiation Rules
329 Views
Differentiation Rules
692 Views
Differentiation Rules
508 Views
Differentiation Rules
367 Views
Differentiation Rules
937 Views
Differentiation Rules
372 Views
Differentiation Rules
369 Views
Differentiation Rules
278 Views
Differentiation Rules
290 Views
Differentiation Rules
308 Views
Differentiation Rules
294 Views
Differentiation Rules
399 Views
Differentiation Rules
270 Views
Differentiation Rules
424 Views
Differentiation Rules
653 Views
See More