3.8
שקלו ספל ששטח החתך שלו משתנה עם הגובה — הוא רחב יותר בתחתית ובחלק העליון וצר יותר במרכז.
כאשר מוזגים קפה לספל הזה בקצב נפחי קבוע, רמת הקפה עולה עם הזמן. קצב העלייה הזו קשור הפוך לשטח החתך בגובה זה.
הקפירות של העקומה תלויה בסימן הנגזרת השנייה של הגובה ביחס לזמן.
בחצי התחתון של הספל, שטח החתך משתנה כך שהגובה מואץ. מכיוון שגובה הנוזל מואץ, הנגזרת השנייה חיובית באזור זה, מה שמוביל לעקומה קעורה כלפי מעלה.
לעומת זאת, שטח החתך גדל בחצי העליון, ומראה אפקט הפוך, הגובה מאט, כלומר הנגזרת השנייה שלילית, ומתאימה לאזור קעור כלפי מטה בגרף.
נקודות הפיתול מסמנות את המקום שבו השקיעה משתנה.
בדוגמה זו, נקודת המפנה ממוקמת קרוב למרכז הספל, שם שטח החתך הוא מינימלי. לכן, התאוצה של הגובה שמיוצגת על ידי הנגזרת השנייה שלה ירדה לאפס בעקבות המעבר מערכים חיוביים לשליליים.
בניתוח מתמטי, מציאת הנקודות הגבוהות והנמוכות של פונקציה היא קריטית להבנת התנהגותה. נקודות אלו, המכונות נקודות קריטיות, מתרחשות כאשר הנגזרת הראשונה שווה לאפס או אינה מוגדרת. נקודות קריטיות הן מיקומים פוטנציאליים של מקסימום או מינימום מקומי, שניתן לסווג באמצעות מבחן הנגזרת השנייה. עם זאת, לא כל נקודה קריטית בהכרח מייצגת מקסימום או מינימום מקומי. הנגזרת השנייה נבחנת כדי לסווג נקודות אלו. מבחן הנגזרת השנייה מספק מידע על קעירות הפונקציה:
אם f''(x) = 0, הבדיקה אינה חד־משמעית ויש ליישם שיטות נוספות, כגון מבחן הנגזרת הראשונה. נניח את הפונקציה:
\begin{equation*}f(x) = x^3 -3x^2 + 4\end{equation*}
\begin{equation*}f'(x) = 3x^2 -6x\end{equation*}
פתור את f'(x) = 0 כדי למצוא את הנקודות הקריטיות. פתרון המשוואה מניב x = 0 ו־x = 2 כנקודות קריטיות.
\begin{equation*}f''(x) = 6x -6\end{equation*}
לפונקציה יש נקודת פיתול שבה הנגזרת השנייה משנה את הסימן – הצבת f''(x) = 0 ופתרון עבור x מניבים x = 1. מכיוון ש־f''(x) משנה את הסימן ב־x = 1, זוהי נקודת פיתול. ניתוח זה מראה כיצד מבחן הנגזרת השנייה מסייע בזיהוי מאפיינים מרכזיים של גרף הפונקציה.
שקלו ספל ששטח החתך שלו משתנה עם הגובה — הוא רחב יותר בתחתית ובחלק העליון וצר יותר במרכז.
כאשר מוזגים קפה לספל הזה בקצב נפחי קבוע, רמת הקפה עולה עם הזמן. קצב העלייה הזו קשור הפוך לשטח החתך בגובה זה.
הקפירות של העקומה תלויה בסימן הנגזרת השנייה של הגובה ביחס לזמן.
בחצי התחתון של הספל, שטח החתך משתנה כך שהגובה מואץ. מכיוון שגובה הנוזל מואץ, הנגזרת השנייה חיובית באזור זה, מה שמוביל לעקומה קעורה כלפי מעלה.
לעומת זאת, שטח החתך גדל בחצי העליון, ומראה אפקט הפוך, הגובה מאט, כלומר הנגזרת השנייה שלילית, ומתאימה לאזור קעור כלפי מטה בגרף.
נקודות הפיתול מסמנות את המקום שבו השקיעה משתנה.
בדוגמה זו, נקודת המפנה ממוקמת קרוב למרכז הספל, שם שטח החתך הוא מינימלי. לכן, התאוצה של הגובה שמיוצגת על ידי הנגזרת השנייה שלה ירדה לאפס בעקבות המעבר מערכים חיוביים לשליליים.
From Chapter 3:
Now Playing
Applications of Differentiation
334 Views
Applications of Differentiation
326 Views
Applications of Differentiation
310 Views
Applications of Differentiation
291 Views
Applications of Differentiation
276 Views
Applications of Differentiation
346 Views
Applications of Differentiation
291 Views
Applications of Differentiation
435 Views
Applications of Differentiation
367 Views
Applications of Differentiation
348 Views
Applications of Differentiation
202 Views
Applications of Differentiation
397 Views
Applications of Differentiation
342 Views
Applications of Differentiation
297 Views
Applications of Differentiation
419 Views
See More