מבחן הנגזרת השנייה: פתרון בעיות

בניתוח מתמטי, מציאת הנקודות הגבוהות והנמוכות של פונקציה היא קריטית להבנת התנהגותה. נקודות אלו, המכונות נקודות קריטיות, מתרחשות כאשר הנגזרת הראשונה שווה לאפס או אינה מוגדרת. נקודות קריטיות הן מיקומים פוטנציאליים של מקסימום או מינימום מקומי, שניתן לסווג באמצעות מבחן הנגזרת השנייה. עם זאת, לא כל נקודה קריטית בהכרח מייצגת מקסימום או מינימום מקומי. הנגזרת השנייה נבחנת כדי לסווג נקודות אלו. מבחן הנגזרת השנייה מספק מידע על קעירות הפונקציה:

• אם f''(x) > 0, הפונקציה קעורה כלפי מעלה, כלומר הנקודה הקריטית היא מינימום מקומי.
• אם f''(x) < 0, הפונקציה קעורה כלפי מטה, כלומר הנקודה הקריטית היא מקסימום מקומי.

אם f''(x) = 0, הבדיקה אינה חד־משמעית ויש ליישם שיטות נוספות, כגון מבחן הנגזרת הראשונה. נניח את הפונקציה:

\begin{equation*}f(x) = x^3 -3x^2 + 4\end{equation*}

• גזור את הנגזרת הראשונה:

\begin{equation*}f'(x) = 3x^2 -6x\end{equation*}

פתור את f'(x) = 0 כדי למצוא את הנקודות הקריטיות. פתרון המשוואה מניב x = 0 ו־x = 2 כנקודות קריטיות.

• גזור את הנגזרת השנייה:

\begin{equation*}f''(x) = 6x -6\end{equation*}

• הצבת הנגזרת השנייה בנקודות הקריטיות:
• f''(0) = 6(0) - 6 = -6 (שלילי, לכן x = 0 הוא מקסימום מקומי).
• f''(2) = 6(2) - 6 = 6 (חיובי, לכן x = 2 הוא מינימום מקומי).

לפונקציה יש נקודת פיתול שבה הנגזרת השנייה משנה את הסימן – הצבת f''(x) = 0 ופתרון עבור x מניבים x = 1. מכיוון ש־f''(x) משנה את הסימן ב־x = 1, זוהי נקודת פיתול. ניתוח זה מראה כיצד מבחן הנגזרת השנייה מסייע בזיהוי מאפיינים מרכזיים של גרף הפונקציה.