2.10
כאשר לא ניתן לכתוב עקומה על ידי בידוד משתנה אחד, משתמשים בגזירה מרומזת כדי למצוא את השיפוע וההתנהגות שלה.
דוגמה ייחודית היא הקונכואיד של ניקומדס, שבו x ו-y אינם ניתנים להפרדה.
תלות הדדית זו הופכת את הדיפרנציאציה הסמויה לחיונית לחשיפת השיפוע וההתנהגות שלו בכל נקודה נתונה.
הפתרון מתחיל בטיפול במשתנה אחד כתלוי ויישום כלל המכפלה על כל איבר בשני צידי היחס. מכיוון ש-y היא פונקציה של x, כלל השרשרת מציג dy על איברי dx.
לאחר מכן, האיבר הנגזר מבודד על ידי איסוף כל המופעים של המשתנה המשתנה יחד ואז פתרון כיצד המשתנה משתנה משתנה ביחס לאחר.
החלפת ערכי הנקודה הנתונה בנגזרת זו חושפת את השיפוע המדויק של העקומה באותו מיקום, ומראה כיצד תנועה קטנה בממד אחד גורמת לתגובה מסוימת בממד השני.
לבסוף, שיפוע dy על dx והקואורדינטות של הנקודה P מוחלפים בנוסחת הנקודה-שיפוע. כתוצאה מכך נוצרת משוואת המשיק, המתארת את הכיוון המדויק של העקומה בנקודה זו.
שיטה זו מראה את חוזק הטכניקות הסמויות לטיפול בצורות מסובכות מדי לפתרונות ישירים.
עקומות המוגדרות באופן עקיף, כאשר לא ניתן להפריד בין המשתנים באופן אלגברי, דורשות טכניקות מיוחדות לניתוח. הקונקואיד של ניקומדס מהווה דוגמה למקרה כזה. משוואתו מקשרת בין x ו-y באופן שמונע בידוד של משתנה אחד, ולכן גזירה מרומזת חיונית לקביעת השיפוע ולהבנת ההתנהגות בכל נקודה על העקומה.
הצורה המרומזת של הקונקואיד נכתבת כך:
\begin{equation*}(x - a)^2 + y^2 = \jfrac{b^2 x^2}{x^2 + y^2}\end{equation*}
כדי לגזור משוואה זו, יש להתייחס ל-y כפונקציה של x ולהחיל את כלל השרשרת על האיברים הכוללים את y. הנגזרת נלקחת משני צידי המשוואה, תוך הופעת איברים מהצורה dy/dx. כל איבר מטופל בקפידה לפי כללי המכפלה והמנה, בהתאם לצורתו.
לאחר חישוב כל הנגזרות, נאספים האיברים שבהם מופיע dy/dx, והמשוואה מסודרת מחדש כדי לבודד את הנגזרת. התוצאה היא ביטוי יחיד המראה כיצד y משתנה ביחס ל-x בכל נקודה נתונה על העקומה.
הצבת ערכי קואורדינטות ספציפיים בביטוי זה מניבה את השיפוע במיקום הנתון. שיפוע זה, בשילוב עם קואורדינטות הנקודה, משמש בצורת נקודה–שיפוע:
\begin{equation*}y - y_1 = m(x - x_1)\end{equation*}
כך מתקבלת משוואת המשיק, המתארת את הכיוון המיידי של העקומה בנקודה זו. גזירה מרומזת חושפת אפוא את ההתנהגות המקומית המדויקת של עקומות מורכבות כמו הקונקואיד, אשר אינן ניתנות לפתרון אנליטי מפורש.
כאשר לא ניתן לכתוב עקומה על ידי בידוד משתנה אחד, משתמשים בגזירה מרומזת כדי למצוא את השיפוע וההתנהגות שלה.
דוגמה ייחודית היא הקונכואיד של ניקומדס, שבו x ו-y אינם ניתנים להפרדה.
תלות הדדית זו הופכת את הדיפרנציאציה הסמויה לחיונית לחשיפת השיפוע וההתנהגות שלו בכל נקודה נתונה.
הפתרון מתחיל בטיפול במשתנה אחד כתלוי ויישום כלל המכפלה על כל איבר בשני צידי היחס. מכיוון ש-y היא פונקציה של x, כלל השרשרת מציג dy על איברי dx.
לאחר מכן, האיבר הנגזר מבודד על ידי איסוף כל המופעים של המשתנה המשתנה יחד ואז פתרון כיצד המשתנה משתנה משתנה ביחס לאחר.
החלפת ערכי הנקודה הנתונה בנגזרת זו חושפת את השיפוע המדויק של העקומה באותו מיקום, ומראה כיצד תנועה קטנה בממד אחד גורמת לתגובה מסוימת בממד השני.
לבסוף, שיפוע dy על dx והקואורדינטות של הנקודה P מוחלפים בנוסחת הנקודה-שיפוע. כתוצאה מכך נוצרת משוואת המשיק, המתארת את הכיוון המדויק של העקומה בנקודה זו.
שיטה זו מראה את חוזק הטכניקות הסמויות לטיפול בצורות מסובכות מדי לפתרונות ישירים.
From Chapter 2:
Now Playing
Differentiation Rules
294 Views
Differentiation Rules
692 Views
Differentiation Rules
508 Views
Differentiation Rules
367 Views
Differentiation Rules
937 Views
Differentiation Rules
372 Views
Differentiation Rules
369 Views
Differentiation Rules
278 Views
Differentiation Rules
290 Views
Differentiation Rules
308 Views
Differentiation Rules
399 Views
Differentiation Rules
270 Views
Differentiation Rules
424 Views
Differentiation Rules
653 Views
Differentiation Rules
773 Views
See More