גזירה מרומזת: פתרון בעיות

עקומות המוגדרות באופן עקיף, כאשר לא ניתן להפריד בין המשתנים באופן אלגברי, דורשות טכניקות מיוחדות לניתוח. הקונקואיד של ניקומדס מהווה דוגמה למקרה כזה. משוואתו מקשרת בין x ו-y באופן שמונע בידוד של משתנה אחד, ולכן גזירה מרומזת חיונית לקביעת השיפוע ולהבנת ההתנהגות בכל נקודה על העקומה.

הצורה המרומזת של הקונקואיד נכתבת כך:

\begin{equation*}(x - a)^2 + y^2 = \jfrac{b^2 x^2}{x^2 + y^2}\end{equation*}

כדי לגזור משוואה זו, יש להתייחס ל-y כפונקציה של x ולהחיל את כלל השרשרת על האיברים הכוללים את y. הנגזרת נלקחת משני צידי המשוואה, תוך הופעת איברים מהצורה dy/dx. כל איבר מטופל בקפידה לפי כללי המכפלה והמנה, בהתאם לצורתו.

לאחר חישוב כל הנגזרות, נאספים האיברים שבהם מופיע dy/dx, והמשוואה מסודרת מחדש כדי לבודד את הנגזרת. התוצאה היא ביטוי יחיד המראה כיצד y משתנה ביחס ל-x בכל נקודה נתונה על העקומה.

הצבת ערכי קואורדינטות ספציפיים בביטוי זה מניבה את השיפוע במיקום הנתון. שיפוע זה, בשילוב עם קואורדינטות הנקודה, משמש בצורת נקודה–שיפוע:

\begin{equation*}y - y_1 = m(x - x_1)\end{equation*}

כך מתקבלת משוואת המשיק, המתארת את הכיוון המיידי של העקומה בנקודה זו. גזירה מרומזת חושפת אפוא את ההתנהגות המקומית המדויקת של עקומות מורכבות כמו הקונקואיד, אשר אינן ניתנות לפתרון אנליטי מפורש.