10.3
סדרות חשבוניות
רצף אריתמטי הוא רשימה של מספרים שבהם כל מונח גדל או יורד באותו מספר קבוע, המכונה ההפרש המשותף. חשבו על ערימת מוטות. השכבה הראשונה מכילה 25 קטבים, ומספר הקטבים ממשיך לרדת ב-1 בכל שכבה עוקבת.
בהתחשב בכך שלערימה יש 12 שכבות, המטרה היא למצוא את המספר הכולל של העמודים.
סידור זה יוצר רצף אריתמטי, כאשר מספר הקטבים יורד בכמות קבועה משכבה אחת לאחרת.
בתרחיש זה, מספר הקטבים בשכבה ה-12 מחושב באמצעות הנוסחה עבור המונח ה-n של רצף אריתמטי, בהתבסס על המונח הראשון, ההפרש המשותף ומספר השכבות. הערכים של מונחים אלה מוחלפים לאחר מכן בנוסחה, שמתפשטת ל-25 פחות 11, ומעניקה 14 קטבים בשכבה ה-12.
המספר הכולל של הקטבים בערימה, המכונה הסכום החלקי של הרצף, מחושב לאחר מכן על ידי לקיחת הממוצע של מספר הקטבים בשכבה הראשונה והאחרונה והכפלתו במספר הכולל של השכבות. זה נקרא סכום חלקי מכיוון שרק 12 המונחים הראשונים של הרצף מתווספים. התוצאה היא סכום חלקי של 12 כפול הממוצע של 25 ו-14, מה שמניב 234 קטבים.
סדרה חשבונית היא רצף מספרים שבו כל איבר מתקבל על־ידי הוספת ערך קבוע, הנקרא ההפרש המשותף, לאיבר שקדם לו. דפוס עקבי זה מאפשר לחשב ביעילות כל איבר בסדרה וכן את הסכום המצטבר של מספר איברים. הנוסחה למציאת האיבר ה־n של סדרה חשבונית היא:
כאן a_n מציין את האיבר ה־n של הסדרה, a הוא האיבר הראשון, d הוא ההפרש המשותף, ו־n הוא מספרו (מיקומו) של האיבר בסדרה. נוסחה זו חיונית לקביעת ערכו של כל איבר מבלי למנות את כל האיברים שקדמו לו. כדי לחשב את סכום n האיברים הראשונים, המכונה הסכום החלקי, נעשה שימוש באחת מן הנוסחאות הבאות:
בביטויים אלה S_n מציין את סכום n האיברים הראשונים, ו־a_n מתייחס שוב לאיבר ה־n, המחושב באמצעות הנוסחה הקודמת. נוסחאות אלו מציעות דרך תמציתית ושיטתית לניתוח דפוסים מספריים במרווחים קבועים, הן ביישומים תיאורטיים והן ביישומים מעשיים.
רצף אריתמטי הוא רשימה של מספרים שבהם כל מונח גדל או יורד באותו מספר קבוע, המכונה ההפרש המשותף. חשבו על ערימת מוטות. השכבה הראשונה מכילה 25 קטבים, ומספר הקטבים ממשיך לרדת ב-1 בכל שכבה עוקבת.
בהתחשב בכך שלערימה יש 12 שכבות, המטרה היא למצוא את המספר הכולל של העמודים.
סידור זה יוצר רצף אריתמטי, כאשר מספר הקטבים יורד בכמות קבועה משכבה אחת לאחרת.
בתרחיש זה, מספר הקטבים בשכבה ה-12 מחושב באמצעות הנוסחה עבור המונח ה-n של רצף אריתמטי, בהתבסס על המונח הראשון, ההפרש המשותף ומספר השכבות. הערכים של מונחים אלה מוחלפים לאחר מכן בנוסחה, שמתפשטת ל-25 פחות 11, ומעניקה 14 קטבים בשכבה ה-12.
המספר הכולל של הקטבים בערימה, המכונה הסכום החלקי של הרצף, מחושב לאחר מכן על ידי לקיחת הממוצע של מספר הקטבים בשכבה הראשונה והאחרונה והכפלתו במספר הכולל של השכבות. זה נקרא סכום חלקי מכיוון שרק 12 המונחים הראשונים של הרצף מתווספים. התוצאה היא סכום חלקי של 12 כפול הממוצע של 25 ו-14, מה שמניב 234 קטבים.
From Chapter 10:
Now Playing
10.3 : סדרות חשבוניות
Introduction to Sequences and Series
413 Views
10.1 : סדרות
Introduction to Sequences and Series
571 Views
10.2 : סימון סכימה
Introduction to Sequences and Series
471 Views
10.4 : סדרות הנדסיות
Introduction to Sequences and Series
448 Views
10.5 : אינדוקציה מתמטית
Introduction to Sequences and Series
514 Views
10.6 : משפט הבינום
Introduction to Sequences and Series
647 Views
10.7 : הרחבת בינום באמצעות משולש פסקל
Introduction to Sequences and Series
530 Views