7.3
פונקציית אורך הקשת מציגה את המרחק הכולל שנעבר לאורך עקומה חלקה מנקודת התחלה קבועה לנקודת קצה משתנה.
עבור עקומה רציפה ודיפרנציאלית, זה מתבצע על ידי סכימת מקטעים ליניאריים קטנים לאורך העקומה. מקטעים אלו מקרבים את העקומה באמצעות שינויים אופקיים ואנכיים, בדומה לסכום רימן.
כאשר גודל המקטע מתקרב לאפס, הסכום הופך לאינטגרל שנותן את אורך הקשת המדויק.
כדי לבטא את אורך הקשת כפונקציה, משתמשים במשתנה דמה בתוך האינטגרל, מה שמאפשר לגבול העליון להשתנות.
האינטגרנד מכיל את השורש הריבועי של אחד ועוד ריבוע הנגזרת. הוא תמיד גדול או שווה לאחד וגדל ככל שהעקומה נעשית תלולה יותר, מה שגורם לאורך הקשת לגדול מהר יותר.
שימוש במשפט היסוד של החשבון האינפיניטסימלי כדי לגזור את הפונקציה נותן את קצב השינוי של אורך הקשת, התלוי ישירות בשיפוע העקומה.
לדוגמה, בעת התקנת גדר מחסום לאורך כביש מפותל, פונקציית אורך הקשת מודדת בדיוק את מרחק הקרקע, ומסייעת למנוע הערכת חסר של חומרים, עלויות וזמן התקנה.
פונקציית אורך הקשת מייצגת את המרחק הכולל שנעבר לאורך עקומה חלקה מנקודת התחלה קבועה ועד לנקודת קצה משתנה. עבור עקומות רציפות וגזירות, אורך הקשת מספק דרך מדויקת לכימות מרחק במצבים שבהם קירובים קוויים אינם מספקים.
כדי לגזור את אורך הקשת, מחלקים את העקומה למספר רב של קטעים קטנים. כל קטע מקורב באמצעות קו ישר שאורכו תלוי בשינויים האופקיים והאנכיים לאורך אותו מרווח. קטעים ליניאריים אלה דומים במבנם לסכום רימן. ככל שמספר הקטעים גדל ורוחבם שואף לאפס, הקירוב מתכנס לאינטגרל שמניב את האורך המדויק של העקומה.
עבור פונקציה y = f(x) הגזירה על פני קטע, אורך הקשת מנקודה קבועה x = a ועד לנקודת קצה משתנה x ניתן על ידי
\begin{equation*}L(x) = \int_a^x \bm{\sqrt{1 + (f'(u))^2}}\, du\end{equation*}
האינטגרנד תמיד גדול או שווה לאחד, עובדה המשקפת את העיקרון שלפיו המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קו ישר. ככל שגודל הנגזרת גדל, דבר המעיד על עקומה תלולה יותר, ערך האינטגרנד עולה, וכתוצאה מכך אורך הקשת נצבר בקצב מהיר יותר.
גזירת פונקציית אורך הקשת באמצעות משפט היסוד של החשבון הדיפרנציאלי מראה כי קצב השינוי שלה בכל נקודה תלוי ישירות בשיפוע העקומה באותה נקודה. ממצא זה מדגיש את הקשר ההדוק בין ההתנהגות הגיאומטרית המקומית של העקומה לבין המרחק הכולל המצטבר.
פונקציות אורך קשת חיוניות ביישומים מעשיים שבהם נדרשת מדידה מדויקת של מרחקים לאורך נתיבים מעוקלים. לדוגמה, בעת התקנת גדרות בטיחות לאורך כביש מתפתל, חישובי אורך קשת מבטיחים מדידה נכונה של מרחק הקרקע בפועל, ובכך מונעים הערכת חסר של חומרים, עלויות וזמן התקנה.
פונקציית אורך הקשת מציגה את המרחק הכולל שנעבר לאורך עקומה חלקה מנקודת התחלה קבועה לנקודת קצה משתנה.
עבור עקומה רציפה ודיפרנציאלית, זה מתבצע על ידי סכימת מקטעים ליניאריים קטנים לאורך העקומה. מקטעים אלו מקרבים את העקומה באמצעות שינויים אופקיים ואנכיים, בדומה לסכום רימן.
כאשר גודל המקטע מתקרב לאפס, הסכום הופך לאינטגרל שנותן את אורך הקשת המדויק.
כדי לבטא את אורך הקשת כפונקציה, משתמשים במשתנה דמה בתוך האינטגרל, מה שמאפשר לגבול העליון להשתנות.
האינטגרנד מכיל את השורש הריבועי של אחד ועוד ריבוע הנגזרת. הוא תמיד גדול או שווה לאחד וגדל ככל שהעקומה נעשית תלולה יותר, מה שגורם לאורך הקשת לגדול מהר יותר.
שימוש במשפט היסוד של החשבון האינפיניטסימלי כדי לגזור את הפונקציה נותן את קצב השינוי של אורך הקשת, התלוי ישירות בשיפוע העקומה.
לדוגמה, בעת התקנת גדר מחסום לאורך כביש מפותל, פונקציית אורך הקשת מודדת בדיוק את מרחק הקרקע, ומסייעת למנוע הערכת חסר של חומרים, עלויות וזמן התקנה.
From Chapter 7:
Now Playing
Application of Techniques of Integration
266 Views
Application of Techniques of Integration
320 Views
Application of Techniques of Integration
286 Views
Application of Techniques of Integration
290 Views
Application of Techniques of Integration
493 Views
Application of Techniques of Integration
272 Views
Application of Techniques of Integration
446 Views
Application of Techniques of Integration
223 Views
Application of Techniques of Integration
264 Views
Application of Techniques of Integration
324 Views
Application of Techniques of Integration
253 Views