פונקציית אורך קשת

פונקציית אורך הקשת מייצגת את המרחק הכולל שנעבר לאורך עקומה חלקה מנקודת התחלה קבועה ועד לנקודת קצה משתנה. עבור עקומות רציפות וגזירות, אורך הקשת מספק דרך מדויקת לכימות מרחק במצבים שבהם קירובים קוויים אינם מספקים.

כדי לגזור את אורך הקשת, מחלקים את העקומה למספר רב של קטעים קטנים. כל קטע מקורב באמצעות קו ישר שאורכו תלוי בשינויים האופקיים והאנכיים לאורך אותו מרווח. קטעים ליניאריים אלה דומים במבנם לסכום רימן. ככל שמספר הקטעים גדל ורוחבם שואף לאפס, הקירוב מתכנס לאינטגרל שמניב את האורך המדויק של העקומה.

עבור פונקציה y = f(x) הגזירה על פני קטע, אורך הקשת מנקודה קבועה x = a ועד לנקודת קצה משתנה x ניתן על ידי

\begin{equation*}L(x) = \int_a^x \bm{\sqrt{1 + (f'(u))^2}}\, du\end{equation*}

האינטגרנד תמיד גדול או שווה לאחד, עובדה המשקפת את העיקרון שלפיו המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא קו ישר. ככל שגודל הנגזרת גדל, דבר המעיד על עקומה תלולה יותר, ערך האינטגרנד עולה, וכתוצאה מכך אורך הקשת נצבר בקצב מהיר יותר.

גזירת פונקציית אורך הקשת באמצעות משפט היסוד של החשבון הדיפרנציאלי מראה כי קצב השינוי שלה בכל נקודה תלוי ישירות בשיפוע העקומה באותה נקודה. ממצא זה מדגיש את הקשר ההדוק בין ההתנהגות הגיאומטרית המקומית של העקומה לבין המרחק הכולל המצטבר.

פונקציות אורך קשת חיוניות ביישומים מעשיים שבהם נדרשת מדידה מדויקת של מרחקים לאורך נתיבים מעוקלים. לדוגמה, בעת התקנת גדרות בטיחות לאורך כביש מתפתל, חישובי אורך קשת מבטיחים מדידה נכונה של מרחק הקרקע בפועל, ובכך מונעים הערכת חסר של חומרים, עלויות וזמן התקנה.