משוואות דיפרנציאליות: פתרון משוואות

כאשר מנתחים את תנועתם של עצמים נופלים, חשוב לקחת בחשבון לא רק את כוח הכבידה אלא גם את הכוח המנוגד של גרר האוויר. דוגמה מעשית היא שחרור משקולת בדיקה כבדה במהלך בדיקת בטיחות על ספינה. כאשר המשקולת נופלת ממנוחה, כוח הכבידה מאיץ אותה כלפי מטה, בעוד שגרר האוויר מפעיל כוח כלפי מעלה שעולה עם המהירות. יחסי גומלין דינמיים אלו של הכוחות מתוארים היטב על ידי משוואות דיפרנציאליות, המספקות מסגרת מתמטית למידול שינויי המהירות של הגוף לאורך הזמן.

כוחות ומידול דיפרנציאלי

על פי החוק השני של ניוטון, הכוח נטו הפועל על המשקולת הנופלת קובע את תאוצתה. כוח הכבידה הוא קבוע ושווה למסת הגוף כפול תאוצת הכבידה, בעוד שגרר האוויר בדרך כלל נחשב פרופורציונלי למהירות הגוף. שילוב הכוחות מניב משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון, המקשרת בין קצב שינוי המהירות למהירות עצמה.

התנהגות אקספוננציאלית ומהירות טרמינלית

פתרון משוואת הדיפרנציאל נותן פונקציית מהירות שעולה לאורך זמן אך מתקרבת באופן אסימפטוטי לגבול סופי. התנהגות זו משקפת את האיזון ההדרגתי בין כוח הכבידה לגרר האוויר, המסתיים במצב המכונה מהירות טרמינלית (מהירות סופית) — הנקודה שבה התאוצה נפסקת והגוף נופל במהירות קבועה. עבור מסה של 10 kg וקבוע גרר של 2 N·s/m, המהירות הטרמינלית המחושבת היא 49 m/s. דוגמה זו ממחישה כיצד משוואות דיפרנציאליות מאפשרות מידול מדויק של תנועה בעולם האמיתי ומדגימות את השפעת גרר האוויר על הגבלת התאוצה בנפילה חופשית.