科学的な測定とラボスキル

2次元グラフ

一部の化学実験は、温度などの独立変数とも呼ばれる、研究対象のシステムの1つのプロパティを直接変更し、体積などの従属変数と呼ばれる別のプロパティへの影響を測定するという形をとります。データが収集されたら、2つのパラメータ間の相互作用を定量化するか、評価可能な形式に変換して、他の関係と比較する必要があります。

2次元グラフは、2つのプロパティ間の特定の種類の数学的関係を導き出したり、それらの間にそのような関係が存在しないことを立証したりするために使用できます。この分析では、最終的に、従属変数が独立変数に応答してどのように変化するかが決定されます。液体または気体の温度を調整し、その体積の変化を監視する例では、温度が独立変数であり、体積が従属変数です。

2 次元グラフを作成するには、各データ ポイントに、従属変数と独立変数の両方の座標と呼ばれる値が必要です。独立変数は X 軸にプロットされ、従属変数は Y 軸にプロットされます。これらのプロットはスプレッドシートソフトウェアで簡単に作成でき、プロットされたデータの分析にも使用できます。

カーブフィッティング

データセットを2次元グラフにプロットすると、カーブフィッティングを使用して、独立変数の観点から従属変数の方程式または関数を生成できます。関数は、派生元のデータを最適にモデル化する数学的モデルを表します。カーブフィッティングは、データポイントのパターンに適した線を生成する関数を見つける手法です。スプレッドシートソフトウェアには、「ベストフィット」と呼ばれるさまざまなカーブフィッティングツールがあります。これは通常、線形最小二乗回帰分析ですが、ほとんどのソフトウェアでは非線形最小二乗回帰も提供されています。

最適な線形方程式の精度は、データポイントのx値をプラグインし、方程式の「理論」結果をデータポイントの実際のy値と比較することで確認できます。スプレッドシートソフトウェアは通常、関数の決定係数(R²)値を計算し、関数がデータポイントにどの程度一致しているかを示します。R² の値が 1 に近いほど、線形回帰の適合度が高くなります。他の関数には、関数がデータにどの程度適合しているかを判断するための、より専門的な方法があります。

最適関数から計算された従属値の不確実性を決定するには、複雑な "誤差伝播" 手法が必要になります。ただし、方程式内の不確かさを、最適関数の傾きとy切片の両方の標準偏差の形で計算することは可能です。これは通常、2次元プロットの生成に使用されるツールとは異なるツールで実行されます。

標準偏差

標準偏差は、一連の値に存在する変動の量を表します。母集団標準偏差 (σ) は、ビー玉の袋に入った各ビー玉の質量など、有限母集団の各メンバーからのデータがある場合に使用されます。サンプル標準偏差(s)は他のすべてのケースに使用され、スプレッドシートソフトウェアのデフォルトの標準偏差計算です。¹ 「標準偏差」はサンプル標準偏差を指していると想定できます。

ランダム測定誤差は、値のセットの約68%が平均の両側の1標準偏差の範囲内にある、値の95%が平均の両側の2標準偏差内にある、値の99.7%が平均の両側の3標準偏差内にある、ほぼ「正規」分布に従うと仮定されます。したがって、標準偏差は、エラーと不確実性を説明するのに便利な方法です。

サンプル標準偏差の式は次のとおりです。

この式では、Nは値の数です。 は値の平均値で、x_i は個々の値を表します。したがって、標準偏差を手動で計算するには、値のセットの平均を計算し、各値から平均を減算し、各差を二乗し、二乗差を加算し、合計を値の数より1つ少ない値で除算し、商の平方根を取ります。s が 0 に近いほど、値間の変動は少なくなります。表計算ソフトに値を入力すると、ソフトウェア内から標準偏差を計算できます。

標準偏差の有効数字の数は、それがどの値のためのものかによって異なります。同じ条件下で取得されたデータポイントのグループの標準偏差を報告する場合、まず平均値の有効数字の適切な数を決定する必要があります。その後、標準偏差は平均と同じ小数点以下の桁数に丸められます。有効数字が 4 つの数値、平均が 15.361 mL、標準偏差が 0.2313 のボリュームのセットの場合、平均と標準偏差は 0.23 mL ± 15.36 mL と報告されます。

スプレッドシート ソフトウェアの通常の方法である、最小二乗解析によって決定される最適関数の平均と y 切片の標準偏差を報告する場合、標準偏差の小数点第 1 位は、平均値または y 切片の最後の有効数字です。したがって、標準偏差は小数点以下 1 桁に丸め、傾きまたは y 切片は対応する小数点以下の桁数に丸める必要があります。たとえば、傾きが 0.1691 L·^K-1 で、標準偏差が 0.00512 の場合、傾きは 0.169 L·^K-1 ± 0.005 L·^K-1 として報告されます。

傾きまたは y 切片の標準偏差が対応する値よりもはるかに小さいため、このルールに従うと、元の計測データで許容されるよりも多くの有効数字が傾きまたは y 切片に与えられる場合は、代わりに x 値と y 値から傾きまたは y 切片の有効数字を決定し、標準偏差を 1 つの有効数字に丸めます。したがって、傾きが 0.1691 L·^K-1、標準偏差が 0.0000512、x 値と y 値に有効数字が 4 桁ある場合、傾きは 0.1691 L·^K-1 ± 0.00005 L·K^{- 1} として報告する必要があります。この場合、計算された値とその標準偏差の小数点以下の桁数が異なる場合でも問題ありません。最小二乗法では、x 値と y 値の両方を使用して傾斜角と y 切片が計算されることに注意してください。

標準偏差を不確かさの範囲として報告する場合は、不確かさが 1 つの標準偏差を表すことに特に注意してください。これにより、正規分布を仮定すると、測定値の真の値が平均のその範囲内に収まる可能性が約 68% あることが読者に伝わります。不確実性を平均から2標準偏差として報告する方が、確率が約95%に増加するため、多くの場合、より適切な場合があります。これを行うには、標準偏差に 2 を掛けてから、適切な有効数字の数に丸めます。

参照

1. ハリス、ワシントンD.C.(2015年)。定量的化学分析。ニューヨーク州ニューヨーク:WHフリーマンアンドカンパニー。

実験結果をデータポイントからグラフなどの視覚的表現に変換することは、2つ以上のプロパティ間の関係を決定するために不可欠です。これらのプロパティは変数と呼ばれます。変数が 2 つある場合、データから作成されたグラフは 2 次元と呼ばれます。グラフには 2 つの軸があります。独立変数は X 軸にプロットされ、従属変数は Y 軸にプロットされます。

たとえば、ガスの温度と体積に関するこのサンプルデータを考えてみましょう。ガスの量は温度によって異なります。したがって、測定された温度をx軸にプロットし、体積をy軸にプロットします。

同じ x 値を持つデータポイントが複数ある場合、たとえば 1 つの温度で体積を複数回測定した場合など、それらの測定値の標準偏差も計算します。標準偏差は統計値であり、一連の値に存在する変動の量を示します。

標準偏差は、n がデータ ポイントの数、x bar がデータ ポイントの平均値、x_i が個々のデータ ポイントを表す次の式を使用して計算されます。標準偏差は手動で計算することも、スプレッドシートプログラムで自動的に計算することもできます。標準偏差が 0 に近いほど、データ ポイントは平均値に近くなります。標準偏差が0に等しい場合、入力されたすべてのデータポイントは同じ値を持ちます。

データセットの各温度での体積測定値の平均値と標準偏差を見てみましょう。データポイントの各セットは、平均プラスまたは標準偏差として要約できます。対応する測定値から各平均の有効数字を決定し、それに応じて平均値を丸めます。

各グループの標準偏差は平均と同じ小数点以下の桁数を持つ必要があるため、各標準偏差を100分の1に丸めます。2つの変数間の関係をグラフィカルに決定するために、データをベストフィット関数で適合させることができます。

この関数は、スプレッドシートソフトウェアによって自動的に生成され、線形トレンドライン、多項式関数、指数関数または対数関数の形式をとることができます。温度と体積のデータの場合、関係は線形です。したがって、データポイントは線形最小二乗回帰によって適合されます。スプレッドシート プログラムは、最適適合線と r-squared 値の方程式を返します。r二乗値が 1 に近いほど、データの適合度が高くなります。

次に、スプレッドシート ソフトウェアを使用して、傾きの標準偏差、Y 切片、および計算された Y 値を見つけることができます。方程式の値の有効数字を決定するために、単純なルールに従います。各値の最後の有効数字は、その標準偏差の小数点以下の最初の有効桁数に対応します。

したがって、傾きを1000分の1の位に丸め、y切片を10分の1の位に丸め、標準偏差を一致するように丸めます。傾きはケルビンあたり0.167 +/- 0.003リットルで、y切片は-40.6 +/- 1.2リットルです。計算されたy値は10分の1に丸められ、+/- 0.8リットルになります。この方程式は、温度とガスの体積の関係を表しています。

このラボでは、さまざまなサイズのビーカーの直径と円周を測定することにより、従属変数と独立変数のデータセットを作成します。次に、このデータを使用して散布図を作成し、有効数字の重要性を念頭に置いて線形回帰を実行します。また、ピペットを使用したろ過や容量の測定など、測定と分析の不確実性に注意を払いながら、ラボのスキルを練習します。