Drugie twierdzenie o wyjątkowości

Rozważmy obszar składający się z kilku pojedynczych przewodników o określonej gęstości ładunku w obszarze pomiędzy tymi przewodnikami. Drugie twierdzenie o niepowtarzalności stwierdza, że jeśli znany jest całkowity ładunek każdego przewodnika i gęstość ładunku w obszarze pomiędzy, wówczas można jednoznacznie określić pole elektryczne.

Dla kontrastu, weź pod uwagę, że pole elektryczne nie jest unikalne i zastosuj prawo Gaussa w postaci rozbieżności w obszarze pomiędzy przewodnikami oraz w postaci całkowej do powierzchni otaczającej każdy przewodnik. Po zintegrowaniu na najbardziej zewnętrznej granicy ładunek obejmuje całkowity ładunek na wszystkich przewodnikach i gęstość ładunku w obszarze pomiędzy.

Jeśli trzecie pole definiuje się jako różnicę między dwoma polami, wówczas rozbieżność trzeciego pola i postać całkowa trzeciego pola wynoszą zero. Reguła iloczynu służy do uzyskania wyrażenia na rozbieżność trzeciego pola i związanego z nim potencjału. Potencjał można zapisać w kategoriach pola, a przyjmując, że rozbieżność trzeciego pola wynosi zero, otrzymujemy kwadrat wielkości pola elektrycznego.

To wyrażenie jest całkowane po objętości obszaru, a twierdzenie o rozbieżności jest stosowane w celu przepisania całki objętościowej na całkę powierzchniową. Przypomnienie, że całka powierzchniowa trzeciego pola wynosi zero, oznacza, że wielkość trzeciego pola wszędzie wynosi zero. To pokazuje, że pierwsze dwa pola są równe, co dowodzi niepowtarzalności rozwiązania.