5.7
Um tanque de combustível montado na asa de uma aeronave a jato é formado girando uma região ao redor do eixo central. Essa região é formada girando uma função matemática ao redor do eixo x e se estende de zero a dois metros.
Para encontrar o volume do tanque, usa-se o método do disco, que envolve cortar o sólido em discos circulares infinitesimais e finos, perpendiculares ao eixo x.
Cada disco tem uma área igual a vezes o quadrado do valor da função. O volume total é encontrado integrando essas áreas ao longo do intervalo.
Após elevar a função ao quadrado, o integrando se simplifica para uma constante multiplicada pela potência dos segundos de x e a diferença entre dois e x.
Expandir e integrar essa expressão produz uma antiderivada envolvendo a terceira e a quarta potência de x.
Avaliando a integral definida de zero a dois e substituindo os limites, obtém-se uma expressão. Simplificando ainda mais, resulta em um volume de aproximadamente 1 metro cúbico, que é o volume total do tanque de combustível.
O volume de um tanque de combustível montado na asa de uma aeronave a jato pode ser modelado pelo conceito de sólidos de revolução. Nesse caso, o tanque é formado pela rotação de uma região bidimensional, definida por uma função matemática, em torno do eixo x. A região estende-se ao longo do eixo de 0 a 2 metros, e a forma tridimensional resultante é simétrica em relação ao eixo de rotação. Como a curva de contorno está em contato direto com o eixo, o método dos discos é a técnica adequada para determinar o volume.
Pelo método dos discos, o sólido é conceitualmente dividido em um número infinito de fatias circulares extremamente finas, perpendiculares ao eixo x. Cada fatia forma um disco cujo raio é igual ao valor da função que define a forma naquela posição. A área de cada disco é proporcional a π multiplicada pelo quadrado do raio. Embora cada disco individual represente apenas uma pequena porção do tanque, o conjunto de todos os discos aproxima-se fortemente do volume total.
Para determinar o volume total, as áreas de todos os discos são acumuladas ao longo do comprimento do tanque por integração. Após elevar ao quadrado a função que define a forma do tanque, a expressão resultante simplifica-se a uma constante multiplicada pelo quadrado da posição horizontal e pela diferença entre 2 e essa posição. Essa expressão é então expandida, produzindo termos que envolvem as terceira e quarta potências da variável. A integração desses termos produz uma antiderivada que descreve como o volume se acumula ao longo do eixo de integração.
A avaliação da integral definida entre 0 e 2 metros e a substituição dos limites resultam em um resultado numérico. Após a simplificação, o volume calculado é aproximadamente 1 m^3. Esse valor representa a capacidade total interna do tanque de combustível. Tais cálculos são cruciais na engenharia aeroespacial, onde estimativas precisas de volume são necessárias para determinar a capacidade de combustível, a distribuição de massa e o desempenho geral da aeronave.
Um tanque de combustível montado na asa de uma aeronave a jato é formado girando uma região ao redor do eixo central. Essa região é formada girando uma função matemática ao redor do eixo x e se estende de zero a dois metros.
Para encontrar o volume do tanque, usa-se o método do disco, que envolve cortar o sólido em discos circulares infinitesimais e finos, perpendiculares ao eixo x.
Cada disco tem uma área igual a 𝜋 vezes o quadrado do valor da função. O volume total é encontrado integrando essas áreas ao longo do intervalo.
Após elevar a função ao quadrado, o integrando se simplifica para uma constante multiplicada pela potência dos segundos de x e a diferença entre dois e x.
Expandir e integrar essa expressão produz uma antiderivada envolvendo a terceira e a quarta potência de x.
Avaliando a integral definida de zero a dois e substituindo os limites, obtém-se uma expressão. Simplificando ainda mais, resulta em um volume de aproximadamente 1 metro cúbico, que é o volume total do tanque de combustível.
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