Resolução de problemas: volume

O volume de um tanque de combustível montado na asa de uma aeronave a jato pode ser modelado pelo conceito de sólidos de revolução. Nesse caso, o tanque é formado pela rotação de uma região bidimensional, definida por uma função matemática, em torno do eixo x. A região estende-se ao longo do eixo de 0 a 2 metros, e a forma tridimensional resultante é simétrica em relação ao eixo de rotação. Como a curva de contorno está em contato direto com o eixo, o método dos discos é a técnica adequada para determinar o volume.

Pelo método dos discos, o sólido é conceitualmente dividido em um número infinito de fatias circulares extremamente finas, perpendiculares ao eixo x. Cada fatia forma um disco cujo raio é igual ao valor da função que define a forma naquela posição. A área de cada disco é proporcional a π multiplicada pelo quadrado do raio. Embora cada disco individual represente apenas uma pequena porção do tanque, o conjunto de todos os discos aproxima-se fortemente do volume total.

Para determinar o volume total, as áreas de todos os discos são acumuladas ao longo do comprimento do tanque por integração. Após elevar ao quadrado a função que define a forma do tanque, a expressão resultante simplifica-se a uma constante multiplicada pelo quadrado da posição horizontal e pela diferença entre 2 e essa posição. Essa expressão é então expandida, produzindo termos que envolvem as terceira e quarta potências da variável. A integração desses termos produz uma antiderivada que descreve como o volume se acumula ao longo do eixo de integração.

A avaliação da integral definida entre 0 e 2 metros e a substituição dos limites resultam em um resultado numérico. Após a simplificação, o volume calculado é aproximadamente 1 m^3. Esse valor representa a capacidade total interna do tanque de combustível. Tais cálculos são cruciais na engenharia aeroespacial, onde estimativas precisas de volume são necessárias para determinar a capacidade de combustível, a distribuição de massa e o desempenho geral da aeronave.