A Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é um resultado fundamental na trigonometria que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo ao cosseno de um de seus ângulos. Ela funciona como uma generalização do Teorema de Pitágoras, possibilitando cálculos em triângulos não retângulos, em que as relações simples da geometria retangular não se aplicam. A fórmula é especialmente útil em situações nas quais a medição direta de um lado ou de um ângulo não é viável, como em medições topográficas, navegação e engenharia.

Para qualquer triângulo com lados a, b e c, e ângulos opostos correspondentes A, B e C, a Lei dos Cossenos é dada por:

Expressões semelhantes podem ser escritas para os outros lados:

Essa lei é aplicável em duas situações principais: quando dois lados e o ângulo compreendido são conhecidos, ou quando todos os três lados são conhecidos e o ângulo compreendido precisa ser determinado.

Além da topografia, a Lei dos Cossenos é utilizada na astronomia para calcular distâncias entre corpos celestes que formam triângulos a partir da perspectiva da Terra. Também é aplicada na robótica para determinar ângulos de articulação em mecanismos de braço e na física para decompor forças que atuam em ângulos.

Por exemplo, considere um triângulo em que os lados a = 7 unidades, b = 10 unidades e o ângulo compreendido c = 60º. Aplicando a Lei dos Cossenos:

Isso demonstra como a Lei dos Cossenos permite cálculos precisos de distâncias até mesmo em geometrias complexas.