Закон Гаусса: сферическая симметрия

Распределение заряда обладает сферической симметрией, если плотность заряда зависит только от расстояния от точки в пространстве и не зависит от направления. Другими словами, если система поворачивается, она не меняется. Например, если сфера радиуса R равномерно заряжена с плотностью заряда ρ₀, то распределение обладает сферической симметрией. С другой стороны, если сфера радиуса R заряжена так, что верхняя половина сферы имеет равномерную плотность заряда ρ₁, а нижняя половина имеет равномерную плотность заряда ρ₂, то сфера не обладает сферической симметрией, так как плотность заряда зависит от направления. Таким образом, это не форма объекта, а именно форма распределения заряда определяет, обладает ли система сферической симметрией или нет. Предположим, что сфера имеет четыре различных оболочки, каждая с равномерной плотностью заряда. Хотя плотность заряда во всей сфере не является равномерной, функция зависит только от расстояния от центра и не зависит от направления. Поэтому это распределение заряда имеет сферическую симметрию.

Во всех случаях сферической симметрии электрическое поле в любой точке должно быть радиально направлено, так как заряд и, следовательно, поле должны быть инвариантными относительно вращения. Поэтому, используя сферические координаты с началом в центре сферического распределения заряда, электрическое поле становится функцией только от расстояния. Чтобы найти электрическое поле, строится гауссова поверхность, которая является замкнутой сферической поверхностью с тем же центром, что и центр распределения заряда, чтобы найти электрическое поле. Таким образом, направление вектора площади элемента на гауссовой поверхности в любой точке параллельно направлению электрического поля в этой точке. Кроме того, величина электрического поля на этой поверхности одинакова во всех точках. Таким образом, электрический поток через поверхность является произведением величины электрического поля и площади поверхности. Величину электрического поля можно получить, используя гауссов закон.

Когда сферическое распределение заряда занимает объём, внутри и снаружи сферы строятся две концентрические гауссовы сферы, чтобы найти электрическое поле внутри и снаружи сферы. Заряд, заключённый внутри сферы, зависит от расстояния r точки поля от радиуса распределения заряда R. Если точка P находится вне распределения заряда, то гауссова поверхность, содержащая P, окружает все заряды в сфере. В этом случае заключённый заряд равен общему заряду сферы. С другой стороны, если точка P находится внутри сферического распределения заряда, то гауссова поверхность заключает в себе меньшую сферу, чем сфера распределения заряда. В этом случае заключённый заряд меньше, чем общий заряд, присутствующий в сфере. С помощью выражения закона Гаусса можно получить величину электрического поля в точке снаружи и внутри сферы.