Закон Гаусса: плоская симметрия

Плоская симметрия плотности заряда достигается, когда заряды равномерно распределены по большой плоской поверхности. В случае плоской симметрии все точки в плоскости, параллельной плоскости заряда, идентичны с точки зрения зарядов. Предположим, что плоскость распределения заряда - это плоскость xy, и электрическое поле в точке пространства P с координатами (x, y, z) должно быть определено. Поскольку плотность заряда одинакова для всех (x, y) -координат в плоскости z = 0, симметрия позволяет сделать вывод, что электрическое поле в точке P не может зависеть от x- или y-координат точки P. Следовательно, электрическое поле в точке P может зависеть только от расстояния от плоскости и иметь направление либо к плоскости, либо от нее. Другими словами, электрическое поле в точке P имеет только ненулевую z-компоненту.

Электрическое поле, обусловленное планарным распределением заряда с плотностью поверхностного заряда σ, можно рассчитать с использованием закона Гаусса. Для этого рассмотрим цилиндрическую гауссову поверхность, которая равноудалена от плоскости с обеих сторон. Ось цилиндра перпендикулярна плоскости, и площадь его плоских оснований равна A, как показано на рисунке.

Электрический поток через изогнутую поверхность цилиндра равен нулю, так как электрическое поле перпендикулярно вектору площади. Электрический поток через плоскую поверхность равен EA, так как электрическое поле в этой плоскости параллельно вектору площади. Таким образом, общий поток через гауссову поверхность составляет -2EA.

Теперь заряд, заключённый внутри гауссовой поверхности, равен -σA. По закону Гаусса, электрический поток через гауссову поверхность пропорционален заряду, заключённому поверхностью.

Используя уравнения для потока и закона Гаусса, электрическое поле в точке P от равномерно заряженной плоскости определяется следующим образом:

Направление электрического поля зависит от знака заряда на плоскости и стороны плоскости, на которой находится точка поля P. Из вышесказанного следует, что электрическое поле не зависит от расстояния от плоскости; это является результатом предположения о том, что плоскость бесконечна. В практическом плане, полученный результат до сих пор является полезным приближением для конечных плоскостей, находящихся близко к центру.