Тест первой производной: решение задач

Представьте себе цену актива, которая резко падает до минимума, затем резко восстанавливается, когда на рынок выходят покупатели, ищущие выгодные сделки, после чего постепенно снижается. Такое поведение можно смоделировать с помощью гладкой функции, точки поворота которой соответствуют областям локальной переоценки и недооценки. Удобный пример, отражающий восстановление с последующим спадом, имеет вид:

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

Точки локального максимума и локального минимума данной кривой определяются с использованием теста первой производной, который позволяет установить, где функция переходит от возрастания к убыванию или наоборот. На первом этапе вычисляется первая производная. Поскольку функция представляет собой произведение многочлена и экспоненциального множителя, дифференцирование выполняется с применением правила произведения. После нахождения производной полученное выражение упрощается путём вынесения за скобки множителей, общих для всех членов производной.

Далее производная приравнивается к нулю, и решение уравнения даёт критические точки — значения аргумента, при которых производная равна нулю и потому требуется проверка её знака. Эти критические точки разбивают область определения функции на интервалы, подлежащие дальнейшему анализу.

Затем в каждом из интервалов выбираются пробные точки и определяется знак производной. Положительное значение производной указывает на возрастание моделируемой цены актива в соответствующем интервале, тогда как отрицательное значение свидетельствует об убывании. Изменение знака производной с положительного на отрицательный указывает на переход от роста к снижению и, следовательно, на наличие локального максимума. Изменение знака с отрицательного на положительное, напротив, указывает на локальный минимум, соответствующий впадине на ценовой кривой.

Наконец, подстановка критических значений аргумента в исходную функцию позволяет получить соответствующие уровни цен в этих точках поворота. Данные локальные экстремумы имеют ключевое значение для анализа стоимости, поскольку они обозначают потенциальные области разворота и позволяют количественно определить моменты смещения импульса от восстановления к снижению или от снижения к восстановлению.