Oberflächenkartierung erdähnlicher Exoplaneten mit Single-Point-Lichtkurven

Summary

Das Protokoll extrahiert Informationen aus Lichtkurven von Exoplaneten und erstellt deren Oberflächenkarten. Es verwendet Lichtkurven der Erde, die als Proxy-Exoplanet dient, um den Ansatz zu demonstrieren.

Abstract

Die räumliche Auflösung von Exoplaneten-Features aus Einzelpunktbeobachtungen ist für die Bewertung der potenziellen Bewohnbarkeit von Exoplaneten von entscheidender Bedeutung. Das ultimative Ziel dieses Protokolls ist es, festzustellen, ob diese Planetenwelten geologische Merkmale und/oder Klimasysteme aufweisen. Wir stellen eine Methode zum Extrahieren von Informationen aus Mehrwellenlängen-Einpunktlichtkurven und zum Abrufen von Oberflächenkarten vor. Es verwendet Singular Value Decomposition (SVD), um Quellen zu trennen, die zu Lichtkurvenschwankungen beitragen und die Existenz von teilweise trüben Klimasystemen ableiten. Durch die Analyse der von SVD erhaltenen Zeitreihen konnten physikalische Zuschreibungen von Hauptkomponenten (PCs) ohne Annahmen von Spektraleigenschaften abgeleitet werden. In Kombination mit der Anzeigegeometrie ist es möglich, Oberflächenkarten zu rekonstruieren, wenn einer der PCs Oberflächeninformationen enthält. Die Degenerität entstand aus der Faltung der Pixelgeometrie und Spektruminformationen bestimmt die Qualität rekonstruierter Oberflächenkarten, was die Einführung einer Regularisierung erfordert. Zur Demonstration des Protokolls werden mehrwellige Lichtkurven der Erde, die als Proxy-Exoplanet dient, analysiert. Ein Vergleich zwischen den Ergebnissen und der Bodenwahrheit wird präsentiert, um die Leistung und Einschränkung des Protokolls zu zeigen. Diese Arbeit bietet einen Maßstab für die zukünftige Verallgemeinerung von Exoplanetenanwendungen.

Introduction

Das Identifizieren bewohnbarer Welten ist eines der ultimativen Ziele in der Astrobiologie¹. Seit der ersten Detektion²wurden bisher mehr als 4000 Exoplaneten³ mit einer Reihe von Erdanalogen (z.B. TRAPPIST-1e)⁴bestätigt. Diese Planeten haben orbitale und planetare Eigenschaften, die denen der Erde ähneln, und sind daher potenziell bewohnbar. Die Bewertung ihrer Bewohnbarkeit anhand begrenzter Beobachtungen ist in diesem Zusammenhang von wesentlicher Bedeutung. Basierend auf dem Wissen über das Leben auf der Erde sind geologische und Klimasysteme entscheidend für die Bewohnbarkeit, die daher als Biosignaturen dienen können. Prinzipiell könnten Merkmale dieser Systeme aus der Ferne beobachtet werden, selbst wenn ein Planet nicht räumlich besser gelöst werden könnte als ein einziger Punkt. In diesem Fall ist die Identifizierung geologischer Merkmale und Klimasysteme aus Einpunktlichtkurven bei der Beurteilung der Bewohnbarkeit von Exoplaneten von entscheidender Bedeutung. Die Oberflächenkartierung dieser Exoplaneten wird dringend.

Trotz der Faltung zwischen Betrachtungsgeometrie und spektralen Merkmalen sind Informationen über die Oberfläche eines Exoplaneten in seinen zeitaufgelösten Einpunktlichtkurven enthalten, die aus einer Entfernung erhalten und mit ausreichenden Beobachtungen abgeleitet werden können. Die zweidimensionale (2D) Oberflächenkartierung potenziell bewohnbarer erdähnlicher Exoplaneten ist jedoch aufgrund des Einflusses von Wolken eine Herausforderung. Methoden zum Abrufen von 2D-Karten wurden mit simulierten Lichtkurven und bekannten Spektren^5,6,7,8, getestet, aber sie wurden nicht auf reale Beobachtungen angewendet. Darüber hinaus können bei den Analysen von Exoplanetenbeobachtungen jetzt und in naher Zukunft Annahmen von charakteristischen Spektren kontrovers sein, wenn die planetarischen Oberflächenzusammensetzungen nicht gut eingeschränkt sind.

In diesem Beitrag zeigen wir eine Oberflächenkartierungstechnik für erdähnliche Exoplaneten. Wir verwenden SVD, um Informationen aus verschiedenen Quellen auszuwerten und zu trennen, die in Lichtkurven mit mehreren Wellenlängen enthalten sind, ohne dass bestimmte Spektren angenommen werden. In Kombination mit der Betrachtungsgeometrie präsentieren wir die Rekonstruktion von Oberflächenkarten mit zeitnah aufgelösten, aber räumlich verworrenen Oberflächeninformationen. Zum Nachweis dieser Methode werden zweijährige mehrwellige Einpunktbeobachtungen der Erde analysiert, die von der Deep Space Climate Observatory/Earth Polychromatic Imaging Camera (DSCOVR/EPIC; www.nesdis.noaa.gov/DSCOVR/spacecraft.html) erhalten wurden. Wir verwenden die Erde als Proxy-Exoplaneten, um diese Methode zu bewerten, da derzeit verfügbare Beobachtungen von Exoplaneten nicht ausreichen. Als Beispiel fügen wir den Code dem Papier bei. Es wird unter Python 3.7 mit Anaconda- und Healpy-Paketen entwickelt, aber die Mathematik des Protokolls kann auch in anderen Programmierumgebungen (z.B. IDL oder MATLAB) durchgeführt werden.

Protocol

1. Programmier-Setup

1. Richten Sie die Programmierumgebung für den angefügten Code ein. Ein Computer mit Linux-Betriebssystem ist erforderlich, da das healpy-Paket unter Windows nicht verfügbar ist. Der Code ist nicht rechnerisch teuer, so dass ein normaler PC das Protokoll verarbeiten kann.
2. Befolgen Sie die Anweisung (https://docs.anaconda.com/anaconda/install/linux/), an Anaconda mit Python 3.7 auf dem System zu installieren, und verwenden Sie dann die folgenden Befehle im Terminal, um die Programmierumgebung einzurichten:
   - conda erstellen --name myenv python=3.7
   • conda aktivieren myenv
   • conda install anaconda
   • conda install healpy
   HINWEIS: Diese Schritte können je nach Hardware und Internetgeschwindigkeit zig Minuten dauern. Der Umgebungsname 'myenv' in den ersten beiden Befehlszeilen kann in eine andere Zeichenfolge geändert werden.

2. Abrufen von Mehrwellenlängen-Lichtkurven und Betrachtungsgeometrie aus Beobachtungen

1. Fügen Sie in die Betrachtungsgeometrie den Längen- und Breitengrad des Substellars und die Unterbeobachterpunkte für jeden entsprechenden Zeitrahmen ein.
   Um den folgenden angefügten Code zu verwenden, stellen Sie sicher, dass diese beiden Dateien das gleiche Format wie LightCurve.csv und Geometry.csvhaben.
2. Führen Sie PlotTimeSeries.py aus, um die Daten zu visualisieren und ihre Qualitäten zu überprüfen. Es werden zwei Figuren LightCurve.png und Geometry.png erstellt (Ergänzungsfigur 1-2). Parameter in diesem und folgenden Plotcodes müssen möglicherweise angepasst werden, wenn sie auf verschiedene Beobachtungen angewendet werden.
   • Python PlotTimeSeries.py LightCurve
   • Python-PlotTimeSeries.py Geometrie

3. Oberflächeninformationen aus Lichtkurven extrahieren

1. Zentrieren Sie zeitaufgelöste Albedo-Lichtkurven mit mehreren Wellenlängen eines Exoplaneten und normalisieren sie durch entsprechende Standardabweichung bei jeder Wellenlänge. Dies führt zu der gleichen Bedeutung jedes Kanals.
   
   wobei R'_t,k und R_t,k die skalierte und beobachtete Albedo beim t-ten Zeitschritt bzw. der k-ten Wellenlänge sind; μ_k und σ_k sind die Mittelwert- und Standardabweichung der Albedo-Zeitreihen bei der k-ten Wellenlänge.
   1. Führen Sie Normalize.py aus, um die Lichtkurven zu normalisieren, R_t,k. Der Ausgang wird in NormalizedLightCurvegespeichert.csvgespeichert.
      • Python-Normalize.py
2. Führen Sie PlotTimeSeries.py aus, um die normalisierten Lichtkurven zu visualisieren. Eine Figur NormalizedLightCurve.png wird erstellt (Ergänzungsabbildung 3).
   Python PlotTimeSeries.py NormalizedLightCurve
3. Tragen Sie SVD auf die skalierten Albedo-Lichtkurven auf, um dominante PCs und deren entsprechende Zeitreihen zu finden.
   
   Auf der linken Seite sind T und K die Gesamtzahl der Zeitschritte und Beobachtungswellenlängen; R' ist die Matrix der skalierten Albedo-Beobachtungen, deren (t,k)-d.M. Element R'_t,kist. Auf der rechten Seite sind Spalten von V PCs, orthonormale Vektoren, die den Raum definieren, auf den SVD-Projekte angewendet werden. - ist eine diagonale Matrix, deren (k,k)-stes Element die Standardabweichung von skalierten Lichtkurven entlang der k-ten Achse ist, die durch die k-te Spalte von Vdefiniert wird; Spalten von U sind die entsprechenden Zeitreihen jedes PCs in V.
   1. Führen Sie SingularValueDecomposition.py aus, um R' zu zersetzen. Die resultierenden U, , , V^T werden in den Ausgabedateien U.csv, SingularValue.csv bzw. V_T.csvgespeichert.
      • Python-SingularValueDecomposition.py
4. Verwenden Sie PlotTimeSeries.py und PlotSVD.py, um das SVD-Ergebnis zu visualisieren. Es werden die drei Figuren U.png, Sigma.png und V_T.png erstellt (Zusatzfigur 4-6).
   $ Python PlotTimeSeries.py U
   • Python-PlotSVD.py
5. Analysieren Sie Beiträge und entsprechende Zeitreihen von PCs, um diejenige zu ermitteln, die Oberflächeninformationen enthält.
   1. Vergleichen Sie die Singularwerte in der Diagonale von . Es wird erwartet, dass ein erdähnlicher, teils bewölkter Exoplanet zwei vergleichbare dominante Singularwerte hat.
      ANMERKUNG: Die Werte können weniger oder mehr als zwei dominante Singularwerte enthalten, die im Folgenden erläutert werden.
   2. Vergleichen Sie die Zeitreihenmuster der beiden dominanten PCs. Der PC, der Oberflächeninformationen enthält, hat tendenziell eine normalere Form als der andere. Aufgrund der Längsasymmetrie und des Wiedererscheinens der Oberfläche mit kleinen Veränderungen an zwei aufeinanderfolgenden Tagen neigt die entsprechende Zeitreihe dazu, ungefähr konstante tägliche Schwankungen zu aufweisen.
   3. Berechnen Sie die Periodizitäten der beiden dominanten PCs mit Lomb-Scargle Periodogramm^9,10, um die Auswahl des PCs zu bestätigen. Der PC, der Oberflächeninformationen enthält, neigt dazu, einen höheren Spitzenwert zu haben, der der Rotationsperiode im Leistungsdichtespektrum entspricht.
   4. Führen Sie Periodogram.py aus, um die Leistungsspektren der Zeitreihen jedes PCs zu erhalten. Die Leistungsspektren werden in Periodogrammgespeichert.csvgespeichert.
      • Python-Periodogram.py
   5. Führen Sie PlotPeriodogram.py aus, um diese Parodogramme zu visualisieren und die PC-Auswahl zu bestätigen. Eine Figur Periodogramm.png wird erstellt (Ergänzungsfigur 7). Der aktuelle Plotcode fügt gestrichelte Zeilen hinzu, die jährliche, halbjährliche, tagestägliche und halbtägliche Zyklen als Referenz darstellen, die möglicherweise geändert werden müssen, wenn sie auf andere Beobachtungen angewendet werden.
      • Python-PlotPeriodogram.py
   6. Wählen Sie den PC, v_j, der Oberflächeninformationen und seine Zeitreihen enthält, u_j.
      
      
      wobei V[:,j] und U[:,j] die j-ten Spalten von V bzw. Usind; j ist der INDEX des PCs, der in Schritt 3.3 abgeleitet wird und Oberflächeninformationen enthält.

4. Konstruieren Sie eine planetare Oberflächenkarte

1. Verwenden Sie die Hierarchical Equal Area iso-Latitude Pixelization (HEALPix)^11-Methode, um die Abrufkarte zu verpixeln. Es teilt die kugelförmige Oberfläche eines Planeten in Pixel mit der gleichen Fläche und gleichmäßiger Verteilung. Bezeichnen Sie den unbekannten Wert des p-ten Pixels als x_p.
   1. Führen Sie HEALPixRandom.py aus, um die Pixelisierungsmethode zu visualisieren. Eine Figur HEALPixRandom.png wird erstellt (Ergänzungsfigur 8). Der Parameter_N-Seite an Zeile 17 kann für unterschiedliche Auflösungen geändert werden. Dieser Schritt kann je nach Auflösung einige Sekunden bis Minuten dauern.
      • Python-HEALPixRandom.py
2. Berechnen Sie die Gewichtung des p-ten Pixels in Beobachtungen beim t-ten Zeitschritt, w_t,p, mithilfe der Anzeigegeometrie.
   
   wobei α_t,p, β_t,p sind die Solar und die Raumsonde ZenitWinkel am p-ten Pixel bei der t-ten Zeit Schritt; c_t ist ein Normalisierungsbegriff der t-ten Beobachtung, so dass die Summe des Gesamtgewichts bei jedem Zeitschritt Einheit ist.
   HINWEIS: Es wird angenommen, dass Geometrie in diesem Schritt bekannt ist oder aus anderen Analysen abgeleitet werden kann, die im Folgenden erläutert werden.
   1. Führen Sie ComputeWeight.py aus, um w_t,pzu berechnen. Ändern Sie den Wert von_N-Seite in Zeile 23 für andere Auflösungen der abgerufenen Karte. Die Ausgabe wird aufgrund ihrer Größe als W.npz gespeichert.
      • Python-ComputeWeight.py
3. Verwenden Sie PlotWeight.py, um diese Gewichtungen zu visualisieren. Eine Reihe von Zahlen, eine zu jedem Zeitschritt, wird in einem Ordner Weighterstellt. Durch das Zusammenführen führt das Ergebnis in Supplemental Video 1, das zeigt, wie sich das Gewicht jedes Pixels mit der Zeit ändert. Dieser Schritt kann aufgrund der großen Anzahl von Visualisierungen Stunden dauern.
   • Python-PlotWeight.py
4. Kombinieren Sie Geometrie und Beobachtungen, um ein lineares Regressionsproblem zu erreichen.
   
   wobei P die Gesamtzahl der abzurufenden Pixel ist; W ist die Gewichtsmatrix mit w_t,p als (t,p)-th-Element; x besteht aus x_p als p-th-Element, das die Menge ist, die in diesem Problem gelöst werden soll.
   Lösen Sie das problem der linearen Regression mit einer Regularisierung der L-2-Norm.
   
   wobei ich die Identitätsmatrix und der Regularisierungsparameter ist.
   ANMERKUNG: 10^-3 ist ein guter Wert für , wenn T-10⁴ und P 3 * 10³. Sie sollten durch einen Vergleich der Werte der beiden Begriffe im regularisierten Quadratischefehler e, wie unten gezeigt, angepasst werden.
   
   1. Führen Sie LinearRegression.py aus, um dieses problem der linearen Regression zu lösen. Das Ergebnis von x wird in der Datei PixelValue.csvgespeichert. Ändern Sie den Wert von - in Zeile 16 für verschiedene Stärken der Regularisierung.
      • Python-LinearRegression.py
5. Konvertieren Sie x in eine 2D-Oberflächenkarte gemäß der Mapping-Regel von HEALPix.
   1. Führen Sie PlotMap.py aus, um die abgerufenen Karten mit verschiedenen Regularisierungsparametern zu erstellen. Mit der aktuellen Einstellungwerdendrei Zahlen Map_-2.png, Map_-3.png und Map_-4erstellt.png erstellt. Die Beziehung zwischen den Pixelindizes und ihren Positionen auf der Karte wird im HEALPix-Dokument¹¹beschrieben. Dieser Schritt dauert zig Sekunden.
      • Python-PolotMap.py

5. Schätzung der Unsicherheit der abgerufenen Karte

1. Schreiben Sie das lineare Regressionsproblem in Schritt 4.3 mit dem "wahren Wert" von x als z und dem Beobachtungsrauschen εum.
   1. Nehmen wir an ε einer Gaußschen Verteilung N (0, σ²I_[T*T]) zu folgen und deren Kovarianz zu schätzen. T-P ist der Grad der Freiheit von u_j von der Beobachtung, wenn die abgerufene Karte fixiert ist.
      
   2. Kombinieren Sie Gleichungen in Schritt 4.4 und 5.1. Es ergibt sich ein Gauß-Vektor von x.
      
   3. Berechnen Sie die Erwartung und die Kovarianzmatrix von x.
      
   4. Erhalten Sie die Unsicherheit jedes Elements in x als Quadratwurzel des entsprechenden Elements auf der Diagonale von Cov[x].
      
      wobei e_p die Ungewissheit von x_pist; Diag[Cov[x]]_p ist p-th Element auf der Diagonale von Cov[x].
   5. Führen Sie Covariance.py aus, um die Kovarianzmatrix von xzu berechnen. Das Ergebnis wird aufgrund seiner Größe in Covariance.npz gespeichert. Dieser Schritt dauert je nach Größe von Wzig Sekunden bis Minuten.
      $ Python-Covariance.py
2. Konvertieren Sie e_p in die abgerufene 2D-Karte gemäß der Mapping-Regel von HEALPix.
   1. Führen Sie PlotCovariance.py aus, um Cov[x] zu visualisieren und die Unsicherheit e_p der abgerufenen Karte zuzuordnen. Es werden zwei Zahlen Kovarianz.png und Ungewissheit.png erstellt (Zusatzfigur 10-11).
      • Python-PlotCovariance.py

Representative Results

Wir verwenden mehrwellige Einpunktlichtkurven der Erde, um das Protokoll zu demonstrieren, und vergleichen die Ergebnisse mit der Bodenwahrheit, um die Qualität der Oberflächenkartierung zu bewerten. Die hier verwendete Beobachtung wird von DSCOVR/EPIC erhalten, einem Satelliten, der sich in der Nähe des ersten lagrangischen Punktes (L1) zwischen Erde und Sonne befindet und Bilder mit zehn Wellenlängen der sonnenbeschienenen Erdoberfläche macht. Zwei Jahre (2016 und 2017) von Beobachtungen werden für diese Demonstration verwendet, die die gleichen sind wie die in Jiang et al. (2018)¹² und Fan et al. (2019)¹³, wo weitere Details über die Beobachtungen präsentiert werden. Eine Beispielbeobachtung um 9:27 UTC, 2017 8. Februar 2017 ist in Abbildung 1dargestellt. Bilder der Erde sind in einzelne Punkte integriert, um Lichtkurvenbeobachtungen zu simulieren, die von Aliens, entfernten Beobachtern, erhalten wurden, die die Erde räumlich nicht besser als ein Pixel lösen konnten. Daher werden mehrwellige Einpunkt-Exoplaneten-Lichtkurven mit 10.000 Zeitschritten erzeugt, die die Eingangsdaten dieses Protokolls sind.

Nach Schritt 3 finden wir zwei dominante PCs in den Mehrwellenlängen-Lichtkurven, und der zweite PC (PC2) enthält Oberflächeninformationen. Abgeleitet als Schritt 3.5, zeigt die Zeitreihe von PC2 eine regelmäßigere Morphologie mit einer annähernd konstanten täglichen Variation, und ihr Leistungsspektrum zeigt einen stärkeren Tageszyklus als der erste PC (PC1, Abbildung 2). Daher wird eine Oberflächenkarte dieses Proxy-Exoplaneten nach Schritt 4 (Abbildung 3a) erstellt, die aus dem Wert von PC2 an jedem Pixel besteht. Verglichen mit der Bodenwahrheit der Erde (Abbildung 3b) erholt die rekonstruierte Karte alle großen Kontinente, trotz einiger Meinungsverschiedenheiten auf der südlichen Hemisphäre, wo Wolken teilweise verhindern, dass Oberflächeninformationen beobachtet werden. Die Unsicherheit jedes Pixelwerts, der gemäß Schritt 5 (Abbildung 3c) ermittelt wird, liegt in der Größenordnung von 10 % der in der abgerufenen Karte, was auf eine gute Qualität der Oberflächenzuordnung und ein positives Ergebnis hindeutet.

Abbildung 1: Reflexionsbilder der sonnenbeschienenen Hemisphäre der Erde.
Die Beobachtungen werden von DSCOVR/EPIC bei zehn Wellenlängen und um 9:27 UTC, 2017 8. Februar 2017 aufgenommen. Bitte klicken Sie hier, um eine größere Version dieser Abbildung anzuzeigen.

Abbildung 2: Zeitreihen und Leistungsspektren der beiden dominanten PCs.
(a) Zeitreihen von PC1. Tägliches Maximum und Minimum werden durch schwarze Linien bezeichnet. (b) Leistungsspektrum der Zeitreihen von PC1. Jährliche, halbjährliche, tages- und halbtägliche Zyklen werden als schwarze gestrichelte Linie bezeichnet. (c) und (d) sind identisch mit (a) und (b), entsprechen aber PC2. Diese Zahl stammt von Fan et al. (2019)¹³. Bitte klicken Sie hier, um eine größere Version dieser Abbildung anzuzeigen.

Abbildung 3: Rekonstruktion der Erdoberfläche.
(a) Oberflächenkarte der Erde, die als Proxy-Exoplanet dient, rekonstruiert aus Mehrwellenlängen-Lichtkurven. Farben in der Karte sind die Werte von PC2 an jedem Pixel. Die Kontur des Medianwerts wird als schwarze Linie bezeichnet. (b) Bodenwahrheit der Erdoberfläche. (c) Ungewissheit der rekonstruierten Karte in (a) dargestellt. Diese Zahl wurde von Fan et al. (2019)¹³geändert. Bitte klicken Sie hier, um eine größere Version dieser Abbildung anzuzeigen.

Abbildung 4: Ergebnis der Suche nach dem optimalen Regularisierungsparameter.
Der optimale Wert des Regularisierungsparameters ist 10^-3.153 (gestrichelte Linie), wenn 2^der Rekonstruktion (volumenförmige Linie) sein Minimum erreicht. Bitte klicken Sie hier, um eine größere Version dieser Abbildung anzuzeigen.

Abbildung 5: Sensitivitätstest des Beobachtungsgeräuschs.
(a) Korrelationskoeffizient zwischen PC2 und Landfraktion im Sichtfeld (feste Linie), der aus Beobachtungen mit unterschiedlichen Signal-Rausch-Verhältnissen (S/Ns) abgeleitet wird. Die ursprüngliche Korrelation von Lichtkurven ohne Rauschen wird als gestrichelte Linie dargestellt. (b) Die Bedeutung jedes PCs auf der Landfraktion, die mit unterschiedlichen Beobachtungen S/Ns abgeleitet wird. Die Bedeutung wird mithilfe von Gradient Boosted Regression Trees (GBRT)-Modellen berechnet, wie in Fan et al. (2019)¹³beschrieben. Bitte klicken Sie hier, um eine größere Version dieser Abbildung anzuzeigen.

Ergänzende Abbildung 1: Zeitreihen der Reflexion der Erde bei zehn Wellenlängen. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 2: a) Zeitreihen des Breitengrades des Unterbeobachterpunkts. b) Gleich wie (a), aber für Längengrad. c) und (d) identisch mit den (a) und (b) identisch sind, dem unterstellaren Punkt jedoch entsprechen. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 3: Zeitreihen der normalisierten Reflexion der Erde bei zehn Wellenlängen. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 4: Zeitreihen der zehn PCs, Spalten von U. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 5: Singularwerte, die jedem PC entsprechen, diagonale Elemente von . Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 6: Normalisierte Reflexionsspektren von zehn PCs, Spalten von V. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 7: Leistungsdichtespektren von Zeitreihen von zehn PCs. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 8: Pixelisierung des Abrufens von Karten, gefüllt mit zufälligen Pixelwerten. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 9: Rekonstruierte Karte der Erde mit verschiedenen Regularisierungsparametern von (a) 10^-2, (b) 10^-3und (c) 10^-4. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 10: Kovarianzmatrix von x. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Ergänzende Abbildung 11: Quadratwurzel der diagonalen Elemente der Kovarianzmatrix von x, die der abgerufenen Oberflächenkarte zugeordnet sind. Bitte klicken Sie hier, um diese Abbildung herunterzuladen.

Video S1: Pixelgewichte für Beobachtungen zu jedem Zeitrahmen in den Jahren 2016 und 2017.

Ergänzende Dateien. Bitte klicken Sie hier, um diese Dateien herunterzuladen.

Discussion

Eine wichtige Anforderung des Protokolls ist die Machbarkeit der Extraktion von Oberflächeninformationen aus Lichtkurven, die von der Wolkenabdeckung abhängen. In Schritt 3.5.1 können die relativen Werte der PCs zwischen Exoplaneten unterschiedlich sein. Im Falle der Erde dominieren die ersten beiden PCs die Lichtkurvenvariationen und entsprechen oberflächenunabhängigen Wolken und Oberfläche (Fan et al. 2019)¹³. Sie haben vergleichbare Singularwerte, so dass die Oberflächeninformationen nach den Schritten 3.5.2 und 3.5.3 getrennt werden können. Für eine zukünftige Beobachtung des Exoplaneten, im Extremfall entweder eines vollständig bewölkten oder eines wolkenfreien Exoplaneten, würde in der SVD bei Schritt 3.3 nur ein dominanter PC erscheinen. Spektrale Analyse ist in diesem Fall notwendig, um die Bedeutung dieses PCs zu interpretieren, da Die Zusammensetzungen von Wolken und Oberfläche unterschiedlich sind. Entspricht der dominante PC der Oberfläche, könnten Schritt 4 und 5 dennoch befolgt werden; Wenn es Wolken entspricht, kann die Schlussfolgerung gezogen werden, dass Oberflächeninformationen durch Wolken blockiert sind und daher nicht mit Lichtkurven bei bestimmten Wellenlängen extrahiert werden können. In diesem Fall ist eine Oberflächenzuordnung nicht möglich. Es kann auch ein dritter oder sogar vierter vergleichbarer dominanter PC existieren, der einer anderen Wolkenschicht oder großflächigen hydrologischen Prozessen entsprechen kann und die folgenden Schritte des Verfahrens nicht ungültig machen würde, solange die Oberflächeninformationen extrahiert werden.

Die Degenerität, die sich aus der Faltung von Geometrie und Spektrum ergibt, ist der dominierende Faktor, der die Qualität der abgerufenen Karte einschränkt, wie in Cowan & Strait (2013)¹⁴ und Fujii et al. (2017)¹⁵beschrieben. Da die Zeitreihen dominanter PCs nur einen kleinen Teil der PC-Ebene abdecken, gibt es immer einen Kompromiss zwischen räumlichen und spektralen Variationen. Mit anderen Worten, die abgerufene Karte (Abbildung 2a) konnte selbst bei unendlich vielen Zeitschritten und perfekten Beobachtungen nicht wesentlich verbessert werden, solange Lichtkurven bei den gleichen Wellenlängen verwendet werden. Wir führen die Regularisierung ein, um die Degenerität teilweise zu lindern. Der optimale Wert des Regularisierungsbegriffs - in Schritt 4.4 wird anhand von Beobachtungen bestimmt, die durch die Bodenwahrheit synthetisiert werden, wobei das beobachtete u_j durch gewichtete und skalierte Landfraktionen im Sichtfeld (FOV) ersetzt wird. Um die synthetische Beobachtung zu erzeugen, verwenden wir die Gleichung in Schritt 4.3 und ersetzen x durch die Bodenwahrheit LandFraktionen jedes Pixels, y. y wird auf den gleichen Bereich mit x skaliert, wobei die starke lineare Korrelation zwischen PC2 der Beobachtung, u2, und dem gemittelten FOV-Landanteil¹³verwendet wird. Aufgrund der Degenerität kann y nicht perfekt aus der linearen Regression in Schritt 4.4 wiederhergestellt werden, so dass wir den optimalen Wert von - bestimmen, indem wir das Minimum von², quadrierter Restmaßstab, der durch die Varianz jedes Pixels skaliert wird, bestimmen. Letzteres wird durch den absoluten Wert jedes Pixels geschätzt. Dies ähnelt dem L-Kurven-Kriterium in Kawahara & Fujii (2011)¹⁶. Im speziellen Fall dieses Papiers, in dem T=9739 und P=3072, ist der optimale Wert von n 10^-3.153 (Abbildung 4).

Beobachtungsgeräusche, ein weiterer Faktor, der die Kartierungsqualität beeinflusst, können die SVD-Analyse von Lichtkurven in der Praxis korrumpieren. Wir testen die Robustheit des Protokolls, indem wir unterschiedliche Beobachtungsgeräusche in die ursprünglichen Lichtkurven einführen. Es wird angenommen, dass sie alle Rauschquellen (z. B. Himmelshintergrund, Dunkelstrom und Auslesegeräusche) enthalten und der Gaußschen Verteilung folgen. In den ursprünglichen Lichtkurven ohne Rauschen zeigt PC2 eine starke (r²=0,91) lineare Korrelation mit dem FOV-Landbruch¹³, so dass seine Zeitreihen für die Oberflächenzuordnung verwendet werden. Mit steigendem Geräuschpegel wird die Korrelation zwischen PC2 und Oberfläche schwächer (Abbildung 5). Der Korrelationskoeffizient r²wird unter 0,5, wenn das Signal-Rausch-Verhältnis (S/N) kleiner als 10 ist (Abbildung 5a), obwohl die Bedeutung von PC2 immer noch dominant ist (Abbildung 5b). Wir schlagen ein Mindest-S/N von 30 für die sichere Anwendung des Protokolls in der zukünftigen Verallgemeinerung vor. Es ist erwähnenswert, dass S/N hier das Verhältnis von Exoplanetensignal zum Beobachtungsgeräusch ist, wobei das Signal des Muttersterns entfernt wird.

Es wird angenommen, dass die Betrachtungsgeometrie in Schritt 4.2 bekannt ist, da die genaue Ableitung von Betrachtungsgeometrie aus Exoplanetenbeobachtungen über den Rahmen dieser Arbeit hinausgeht. Neben den Orbitalelementen, die aus Lichtkurvenbeobachtungen abgeleitet werden können, und Der Rotationszeitraum aus Leistungsdichtespektren (Abbildung 2b und 2d) gibt es nur zwei Mengen, Sommer-/Wintersonnenwende und Obliquitie, die für die Oberflächenkartierung erforderlich sind. Sommer-/Wintersonnenwende fällt in der Regel mit extremum der Zeitreihen der Oberfläche entsprechenden PC, solange es spürbare Asymmetrie zwischen nördlichen und südlichen Hemisphären. Die Obliquitie des Exoplaneten lässt sich aus seinem Einfluss auf die Amplitude und Frequenz der Lichtkurven^17,18ableiten. Alle diese Ableitungen erfordern Beobachtungen Probenahmehäufigkeit mindestens höher als die der Planetenrotation, die derzeit selten für Exoplaneten erfüllt ist.

Materials

Name	Company	Catalog Number	Comments
Python 3.7 with anaconda and healpy packages			Other programming environments (e.g., IDL or MATLAB) also work.