9.7
Pappus 和 Guldinus 开发了定理来找到任何革命体的表面积和体积。
要生成曲面区域,请绕 x 轴旋转已知长度的平面曲线。
考虑一个差分线元素。旋转时,它会产生一个环,该环被积分以获得整个表面积。
第一个定理指出,旋转表面的面积是生成曲线的长度与曲线质心在生成表面时移动的距离的乘积。
同样,为了找到旋转体积,平面区域围绕不相交的轴旋转。
考虑一个差分区域,在旋转时生成体积单元。然后对差异体积进行积分以确定整个体积。
第二个定理指出,旋转体的体积是产生面积与该面积的质心在产生体积时行进的距离的乘积。
在这两种情况下,如果旋转仅通过一个角度,则公式会相应地发生变化。
Pappus和Guldinus所提出的两个定理广泛用于数学、工程和物理学中,以此来计算出任何旋转物体的表面积和体积。这是通过将一个不与曲线相交的轴所旋转的平面曲线以找到位于其表面积或围绕非相交的轴进行旋转的平面面积来计算其体积而得出的。
为了找出其中的表面积,假设有一个产生环状表面积dA的微分线元。对这个微分的面积进行积分可以确定其旋转体的表面积,这是由第一定理来进行描述的。第一个定理指出,旋转的表面积等于生成的曲线长度与其质心在其表面积移动期间所产生距离的乘积。
类似地,为了能够计算出旋转体的体积,假设有一个微分面积单元,在旋转时能够产生一个具有微分体积的环。根据第二定理,积分的微分体积决定了发生旋转的体积。Pappus和Guldinus中的第二个定理指出,旋转的体积等于所产生的面积及其质心在产生该体积时所移动距离的乘积。可以理解的是,如果曲线或面积通过一个角度而不是完整的 360° 旋转,则需要相应地更改它们各自的公式。
Pappus 和 Guldinus 开发了定理来找到任何革命体的表面积和体积。
要生成曲面区域,请绕 x 轴旋转已知长度的平面曲线。
考虑一个差分线元素。旋转时,它会产生一个环,该环被积分以获得整个表面积。
第一个定理指出,旋转表面的面积是生成曲线的长度与曲线质心在生成表面时移动的距离的乘积。
同样,为了找到旋转体积,平面区域围绕不相交的轴旋转。
考虑一个差分区域,在旋转时生成体积单元。然后对差异体积进行积分以确定整个体积。
第二个定理指出,旋转体的体积是产生面积与该面积的质心在产生体积时行进的距离的乘积。
在这两种情况下,如果旋转仅通过一个角度,则公式会相应地发生变化。
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