Wurzelortskurvenverfahren

Ein Tempomat in einem Auto ist so konzipiert, dass er eine bestimmte Geschwindigkeit automatisch durch Anpassung des Gaspedals aufrechterhält. Das System misst kontinuierlich die Geschwindigkeit des Fahrzeugs und nimmt Feinanpassungen am Pedal vor, um dieses Ziel zu erreichen. Die Wurzelortskurve ist besonders nützlich, um zu verstehen, wie sich das Verhalten des Tempomats unter verschiedenen Bedingungen ändert, z. B. wenn das Auto bergauf oder bergab fährt oder starkem Windwiderstand ausgesetzt ist.

Dieses System kann durch ein Blockdiagramm dargestellt werden, wobei seine Übertragungsfunktion ein mathematisches Modell liefert. Um die Positionen der Systempole für unterschiedliche Gaspedalkräfte zu bestimmen, wird die quadratische Formel auf den Nenner der Übertragungsfunktion angewendet. Wenn sich die Pedalkraft ändert, bewegt sich ein Pol des Systems nach rechts, während sich der andere nach links bewegt. Diese Pole konvergieren schließlich an einem bestimmten Punkt, bevor sie in die komplexe Ebene divergieren und die geschlossenen Pole des Systems beeinflussen.

Das Wurzelortskurvenverfahren veranschaulicht visuell, wie sich Schwankungen der Pedalkraft auf die Reaktion des Systems auswirken. Bei geringer Pedalkraft ist das System überdämpft, was bedeutet, dass es ohne Schwingungen zur gewünschten Geschwindigkeit zurückkehrt, dies aber länger dauern kann. Bei einer bestimmten Kraft ist das System kritisch gedämpft, wodurch die schnellste Rückkehr zur gewünschten Geschwindigkeit ohne Überschwingen erreicht wird. Bei hoher Pedalkraft ist das System unterdämpft, was zu Schwingungen um die gewünschte Geschwindigkeit führt, bevor es sich stabilisiert.

Wichtig ist, dass die Wurzelkurve dieses Systems niemals die rechte Halbebene der S-Ebene kreuzt. Dadurch wird sichergestellt, dass das System unabhängig von der ausgeübten Pedalkraft stabil bleibt. Diese Stabilität ist ein entscheidendes Merkmal für den zuverlässigen Betrieb des Geschwindigkeitsregelungssystems.

Das Wurzelortskurvenverfahren ist nicht nur für die Analyse von Systemen zweiter Ordnung nützlich, sondern erweist sich auch für Systeme höherer Ordnung als wertvoll, da sie Einblicke in das Systemverhalten bietet und bei der Entwicklung robuster Steuerungsmechanismen hilft. Durch die Nutzung der Root-Locus-Analyse können Ingenieure die Leistung komplexer Systeme wie der Geschwindigkeitsregelung optimieren und sicherstellen, dass sie unter verschiedenen Betriebsbedingungen stabil und reaktionsfähig bleiben.