Ley de Gauss: simetría plana

Se obtiene una simetría plana de densidad de carga cuando las cargas se distribuyen uniformemente sobre una gran superficie plana. En simetría plana, todos los puntos de un plano paralelo al plano de carga son idénticos con respecto a las cargas. Supongamos que el plano de distribución de carga es el plano xy y el campo eléctrico en un punto espacial P con coordenadas (x, y, z) está por determinar. Dado que la densidad de carga es la misma en todos (x, y) - coordenadas en el plano z = 0, por simetría, el campo eléctrico en P no puede depender de las coordenadas x o y del punto P. Por lo tanto, el campo eléctrico en P solo puede depender de la distancia desde el avión y tiene una dirección hacia el avión o hacia afuera del avión. Es decir, el campo eléctrico en P tiene sólo un componente z distinto de cero.

El campo eléctrico debido a una distribución de carga plana con densidad de carga superficial σ se puede calcular utilizando la ley de Gauss. Para esto, considere una superficie gaussiana cilíndrica que está equidistante del plano en ambos lados. El eje del cilindro es perpendicular al plano y el área de sus extremos planos es A, como se muestra en la figura.

El flujo eléctrico a través de la superficie curva del cilindro es cero ya que el campo eléctrico es perpendicular al vector área. El flujo eléctrico a través de la superficie plana es EA, ya que el campo eléctrico en este plano es paralelo al vector área. Por tanto, el flujo total a través de la superficie gaussiana es -2EA.

Ahora, la carga encerrada por la superficie gaussiana es -σA. Según la ley de Gauss, el flujo eléctrico a través de la superficie gaussiana es proporcional a la carga encerrada por la superficie.

Utilizando las ecuaciones para el flujo y la ley de Gauss, el campo eléctrico en un punto P del plano uniformemente cargado viene dado por:

La dirección del campo eléctrico depende del signo de la carga en el plano y del lado del plano donde se encuentra el punto de campo P. De la expresión anterior, se observa que el campo eléctrico es independiente de la distancia al avión; este es un efecto de la suposición de que el plano es infinito. En términos prácticos, el resultado dado anteriormente sigue siendo una aproximación útil para planos finitos cerca del centro.