5.7
Un réservoir de carburant monté sur l’aile d’un avion à réaction est formé en faisant tourner une région autour de l’axe central. Cette région est formée en faisant tourner une fonction mathématique autour de l’axe des x et s’étend de zéro à deux mètres.
Pour déterminer le volume du réservoir, on utilise la méthode du disque, qui consiste à découper le solide en disques circulaires infinitésimaux et fins, perpendiculaires à l’axe des absences.
Chaque disque a une aire égale à ; ; multiplié par le carré de la valeur de la fonction. Le volume total est déterminé en intégrant ces aires sur l’intervalle.
Après avoir carré la fonction, l’intégrande se simplifie en une constante multipliée par la puissance seconde de x et la différence entre deux et x.
L’expansion et l’intégration de cette expression produisent une antidérivée impliquant les troisième et quatrième puissances de x.
En évaluant l’intégrale définie de zéro à deux et en substituant les limites, on obtient une expression. Une simplification supplémentaire donne un volume d’environ 1 mètre cube, soit le volume total du réservoir de carburant.
Le volume d’un réservoir de carburant monté sur l’aile d’un avion à réaction peut être modélisé à l’aide du concept de solides de révolution. Dans ce cas, le réservoir est formé par la rotation d’une région bidimensionnelle, définie par une fonction mathématique, autour de l’axe des abscisses. Cette région s’étend le long de l’axe de 0 à 2 m, et la forme tridimensionnelle résultante est symétrique par rapport à l’axe de rotation. Puisque la courbe frontière est au contact de l’axe, la méthode des disques est une technique appropriée pour déterminer le volume.
Avec la méthode des disques, le solide est divisé conceptuellement en une infinité de tranches circulaires extrêmement fines, perpendiculaires à l’axe des abscisses. Chaque tranche forme un disque dont le rayon est égal à la valeur de la fonction définissant la région en ce point. L’aire de chaque disque est proportionnelle à π, multiplié par le carré du rayon. Bien que chaque disque ne représente qu’une petite portion du réservoir, l’ensemble des disques approxime très bien le volume total.
Pour déterminer le volume total, les aires de tous les disques sont additionnées le long du réservoir par intégration. Après avoir élevé au carré la fonction définissant la forme du réservoir, l’expression résultante se simplifie en une constante multipliée par le carré de la position horizontale et par la différence entre deux et cette position. Cette expression est ensuite développée, ce qui fait apparaître des termes faisant intervenir les troisième et quatrième puissances de la variable. L’intégration de ces termes donne une primitive qui décrit l’accumulation du volume le long de l’axe des abscisses.
L’évaluation de l’intégrale définie entre 0 et 2 m et la substitution des bornes donnent un résultat numérique. Après simplification, le volume calculé est d’environ 1 m^3. Cette valeur représente la capacité interne totale du réservoir de carburant. De tels calculs sont essentiels en ingénierie aérospatiale, où des estimations précises du volume sont nécessaires pour déterminer la capacité de carburant, la répartition du poids et les performances globales de l’aéronef.
Un réservoir de carburant monté sur l’aile d’un avion à réaction est formé en faisant tourner une région autour de l’axe central. Cette région est formée en faisant tourner une fonction mathématique autour de l’axe des x et s’étend de zéro à deux mètres.
Pour déterminer le volume du réservoir, on utilise la méthode du disque, qui consiste à découper le solide en disques circulaires infinitésimaux et fins, perpendiculaires à l’axe des absences.
Chaque disque a une aire égale à � ;� ; multiplié par le carré de la valeur de la fonction. Le volume total est déterminé en intégrant ces aires sur l’intervalle.
Après avoir carré la fonction, l’intégrande se simplifie en une constante multipliée par la puissance seconde de x et la différence entre deux et x.
L’expansion et l’intégration de cette expression produisent une antidérivée impliquant les troisième et quatrième puissances de x.
En évaluant l’intégrale définie de zéro à deux et en substituant les limites, on obtient une expression. Une simplification supplémentaire donne un volume d’environ 1 mètre cube, soit le volume total du réservoir de carburant.
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