מדידה מדעית ומיומנויות מעבדה

גרפים דו-ממדיים

חלק מהניסויים בכימיה לובשים צורה של שינוי ישיר של תכונה אחת של המערכת שאתם חוקרים הידועה גם בשם משתנה בלתי תלוי, כמו טמפרטורה, ומדידת ההשפעות על תכונה אחרת, הידועה גם בשם המשתנה התלוי, כמו נפח. לאחר איסוף הנתונים, יש לכמת את האינטראקציה בין שני הפרמטרים - או להמיר אותה לצורה שניתן להעריך - ולהשוות אותה לקשרים אחרים.

ניתן להשתמש בגרפים דו-ממדיים כדי לגזור סוגים מסוימים של יחסים מתמטיים בין שתי תכונות או כדי לקבוע שלא קיים קשר כזה ביניהן. הניתוח יקבע בסופו של דבר כיצד משתנה המשתנה התלוי בתגובה למשתנה הבלתי תלוי. בדוגמה של התאמת הטמפרטורה של נוזל או גז וניטור שינויים בנפח, הטמפרטורה היא המשתנה הבלתי תלוי, והנפח הוא המשתנה התלוי.

כדי ליצור גרף דו-ממדי, לכל נקודת נתונים חייב להיות ערך המכונה הקואורדינטה הן עבור המשתנים התלויים והן עבור המשתנים הבלתי תלויים. המשתנה הבלתי תלוי משורטט על ציר x, והמשתנה התלוי משורטט על ציר y. חלקות אלה נעשות בקלות בתוכנת גיליון אלקטרוני, אשר ניתן להשתמש בה גם כדי לנתח את הנתונים שהותוו.

התאמת קימורים

לאחר שרטוט ערכת נתונים על גרף דו-ממדי, ניתן להשתמש בהתאמת עקומה ליצירת משוואה, או פונקציה, עבור המשתנה התלוי במונחים של המשתנה הבלתי תלוי. פונקציות מייצגות מודל מתמטי המודל בצורה הטובה ביותר את הנתונים שמהם הוא נגזר. התאמת עקומה היא טכניקה של מציאת פונקציה המייצרת קו המתאים היטב לתבנית של נקודות נתונים. תוכנת גיליון אלקטרוני כוללת כלים שונים להתאמת עקומות, המכונה 'ההתאמה הטובה ביותר'. זהו בדרך כלל ניתוח רגרסיה ליניארית של הכי פחות ריבועים, אם כי רוב התוכנות מציעות גם רגרסיה לא ליניארית של הכי פחות ריבועים.

ניתן לבדוק את הדיוק של המשוואה הליניארית המתאימה ביותר על ידי חיבור ערכי x עבור נקודות הנתונים והשוואת התוצאות ה"תיאורטיות" של המשוואה לערכי y בפועל של נקודות הנתונים. תוכנת גיליון אלקטרוני תחשב בדרך כלל את ערך מקדם הקביעה (R²) עבור הפונקציה, אשר מראה עד כמה הפונקציה תואמת את נקודות הנתונים. ככל שערך R² קרוב יותר ל-1, כך ההתאמה לרגרסיה ליניארית טובה יותר. פונקציות אחרות יש שיטות מיוחדות יותר כדי לקבוע כמה טוב את ההתאמה של הפונקציה היא לנתונים.

קביעת אי הוודאות של ערכים תלויים המחושבים מהפונקציה המתאימה ביותר תדרוש טכניקות מורכבות של "ריבוי שגיאות". עם זאת, ניתן לחשב את אי הוודאות בתוך המשוואה בצורה של סטיית התקן הן עבור שיפוע והן עבור יירוט y של פונקציה המתאימה ביותר. זה מבוצע בדרך כלל עם כלי שונה מזה המשמש ליצירת מגרש דו מימדי.

סטיית תקן

סטיית התקן מתארת את כמות השונות הקיימת בקבוצת ערכים. סטיית התקן של האוכלוסייה (σ) משמשת כאשר יש נתונים מכל איבר באוכלוסייה סופית, כגון המסה של כל גולה בשק גולות. סטיית התקן לדוגמה משמשת עבור כל המקרים האחרים והיא חישוב סטיית התקן המוגדר כברירת מחדל בתוכנת גיליון אלקטרוני. ¹ ניתן להניח כי 'סטיית תקן' מתייחסת לסטיית התקן המדגם.

ההנחה היא שטעות מדידה אקראית עוקבת אחר התפלגות "נורמלית" בערך, כאשר כ-68% מקבוצת הערכים נמצאים בטווח של סטיית תקן אחת משני צדי הממוצע, 95% מהערכים נמצאים בתוך שתי סטיות תקן משני צדי הממוצע, ו-99.7% מהערכים נמצאים בתוך שלוש סטיות תקן משני צדי הממוצע. לפיכך, סטיית התקן היא דרך שימושית לתאר שגיאה ואי ודאות.

המשוואה עבור סטיית התקן של המדגם היא:

במשוואה זו, N הוא מספר הערכים; הוא הממוצע (או הממוצע) של הערכים; ו- x_i מייצג כל ערך בנפרד. לכן, כדי לחשב את סטיית התקן ביד, לחשב את הממוצע של קבוצת הערכים, להחסיר את הממוצע מכל ערך, לרבע כל הפרש, להוסיף את ההפרשים בריבוע, לחלק את הסכום הכולל באחד פחות ממספר הערכים, ולקחת את השורש הריבועי של המנה. ככל ש-s קרוב יותר לאפס, כך יש פחות שונות בין הערכים. אם הערכים מוזנים לתוכנת גיליון אלקטרוני, ניתן לחשב את סטיית התקן מתוך התוכנה.

מספר הדמויות המשמעותיות בסטיית תקן תלוי לאילו ערכים הוא מיועד. בעת דיווח סטיית התקן עבור קבוצת נקודות נתונים שנלקחו באותם תנאים, יש לקבוע תחילה את המספר המתאים של דמויות משמעותיות בערך הממוצע. לאחר מכן סטיית התקן מעוגלת לאותו מספר מקומות עשרוניים כמו הממוצע. עבור קבוצה של נפחים עם ארבעה נתונים משמעותיים, ממוצע של 15.361 מ"ל, וסטיית תקן של 0.2313, הממוצע וסטיית התקן ידווחו כ- 15.36 מ"ל ±- 0.23 מ"ל.

בעת דיווח על סטיית התקן של הממוצע ויירוט y עבור פונקציה המתאימה ביותר שנקבעה על ידי ניתוח ריבועים פחותים, שהיא השיטה הרגילה עבור תוכנת גיליון אלקטרוני, המקום העשרוני הראשון של סטיית התקן הוא הנתון המשמעותי האחרון של הממוצע או יירוט y. לפיכך, יש לעגל את סטיית התקן למקום עשרוני משמעותי אחד, ולעגל את המדרון או יירוט y למקום העשרוני המתאים. לדוגמה, אם השיפוע הוא 0.1691 L·^K-1 ויש לו סטיית תקן של 0.00512, יש לדווח על השיפוע כ- 0.169 L·^K-1 ±- 0.005 L·^K-1.

אם סטיית התקן של שיפוע או יירוט y קטנה בהרבה מהערך המקביל שלה, שיישום כלל זה ייתן נתונים משמעותיים יותר לשיפוע או ליירוט y ממה שנתוני המדידה המקוריים היו מאפשרים, אז במקום זאת לקבוע את הנתונים המשמעותיים של שיפוע או יירוט y מערכי x ו- y ולעגל את סטיית התקן לנתון משמעותי אחד. לפיכך, עבור שיפוע של 0.1691 L·^K-1, סטיית תקן של 0.0000512, וערכי x ו- y עם ארבע דמויות משמעותיות, יש לדווח על השיפוע כ- 0.1691 L·^K-1 ± 0.00005 L·K^{- 1}. במקרה זה, אין זה בסדר שלערך המחושב ולסטיית התקן שלו יהיה מספר שונה של מקומות עשרוניים. זכור ששיטת הריבועים הפחותים משתמשת הן בערכי x והן בערכי y כדי לחשב את השיפוע ואת יירוט y.

בעת דיווח על סטיית תקן כטווח אי ודאות, יש להקפיד לציין במפורש כי אי הוודאות מייצגת סטיית תקן אחת. זה אומר לקורא שיש סיכוי של כ -68% שהערך האמיתי של מדידה נופל בטווח זה של הממוצע, בהנחה של התפלגות נורמלית. לעתים קרובות מתאים יותר לדווח על אי ודאות כשתי סטיות תקן מהממוצע, שכן זה מגדיל את ההסתברות לכ -95%. לשם כך, פשוט הכפל את סטיית התקן בשניים לפני עיגול למספר המתאים של דמויות משמעותיות.

הפניות

1. Harris, D.C. (2015). אנליזה כימית כמותית. ניו יורק, ניו יורק: W.H. Freeman and Company.

תרגום ממצאים ניסיוניים מנקודות נתונים לייצוגים חזותיים, כמו גרפים, חיוני לקביעת הקשר בין שני מאפיינים או יותר. מאפיינים אלה נקראים משתנים. כאשר ישנם שני משתנים, גרף שנוצר מהנתונים נקרא דו מימדי. לגרף שני צירים. המשתנה הבלתי תלוי משורטט על ציר ה-x, והמשתנה התלוי משורטט על ציר ה-y.

קחו, למשל, את נתוני הדגימה האלה עבור הטמפרטורה והנפח של גז. נפח הגז תלוי בטמפרטורה. לפיכך, היינו משרטטים את הטמפרטורה הנמדדת על ציר ה-x ואת הנפח על ציר ה-y.

כאשר ישנן מספר נקודות נתונים עם אותו ערך x, כמו למשל אם מדדנו את הנפח כמה פעמים בטמפרטורה אחת, אנו מחשבים גם את סטיית התקן של המדידות האלה. סטיית התקן היא ערך סטטיסטי, המציין את כמות השונות הקיימת בקבוצת ערכים.

סטיית התקן מחושבת באמצעות נוסחה זו, כאשר n הוא מספר נקודות הנתונים, x עמודה הוא הערך הממוצע של נקודות הנתונים ו- x_i מייצג כל נקודת נתונים בודדת. באפשרותך לחשב את סטיית התקן באופן ידני, או שתוכנית גיליון אלקטרוני יכולה לחשב אותה באופן אוטומטי. ככל שסטיית התקן קרובה יותר ל-0, כך נקודות הנתונים קרובות יותר לערך הממוצע. אם סטיית התקן שווה ל- 0, לכל נקודות הנתונים שהוזנו יש אותו ערך.

בואו נסתכל על הערכים הממוצעים וסטיות התקן של מדידות הנפח בכל טמפרטורה במערך הנתונים שלנו. אנו יכולים לסכם כל קבוצה של נקודות נתונים כממוצע פלוס מינוס סטיית התקן. אנו קובעים את הנתונים המשמעותיים עבור כל ממוצע מהמדידות המתאימות ומעגלים את הערכים הממוצעים בהתאם.

סטיית התקן של כל קבוצה חייבת להיות בעלת אותו מספר של מקומות עשרוניים כמו הממוצע, ולכן אנו מעגלים כל סטיית תקן למקום המאות. כדי לקבוע באופן גרפי את הקשר בין שני משתנים, אנו יכולים להתאים את הנתונים לפונקציה המתאימה ביותר.

הפונקציה נוצרת אוטומטית על ידי תוכנת גיליון אלקטרוני ויכולה ללבוש צורה של קו מגמה ליניארי, פונקציה פולינומית או פונקציה מעריכית או לוגריתמית. במקרה של נתוני הטמפרטורה והנפח שלנו, הקשר הוא ליניארי. אז, נקודות הנתונים מותאמות על ידי רגרסיה ליניארית של ריבועים מינימליים. תוכנית הגיליון האלקטרוני שלך תחזיר את המשוואה עבור קו ההתאמה הטוב ביותר וערך r בריבוע. ככל שהערך בריבוע r קרוב יותר ל-1, כך ההתאמה של הנתונים טובה יותר.

לאחר מכן, תוכל להשתמש בתוכנת הגיליון האלקטרוני שלך כדי למצוא את סטיות התקן של השיפוע, חיתוך ה-y וערך ה-y המחושב. כדי לקבוע את הנתונים המשמעותיים עבור הערכים במשוואה, אנו פועלים לפי כלל פשוט. הנתון המשמעותי האחרון של כל ערך מתאים למקום העשרוני המשמעותי הראשון של סטיית התקן שלו.

לפיכך, אנו מעגלים את המדרון למקום האלפיות ואת יירוט ה-y למקום העשיריות, ואנו מעגלים את סטיות התקן כדי להתאים. השיפוע שלנו הוא 0.167 +/- 0.003 ליטר לקלווין, ויירוט ה-y שלנו הוא -40.6 +/- 1.2 ליטר. כל ערך y מחושב יעוגל למקום העשיריות ויהיה +/- 0.8 ליטר. משוואה זו מתארת את הקשר בין טמפרטורה לנפח הגז.

במעבדה זו, תיצור מערך נתונים של משתנים תלויים ובלתי תלויים על ידי מדידת הקוטר וההיקף של גדלים שונים של כוסות. לאחר מכן תשתמש בנתונים אלה כדי ליצור תרשים פיזור ולבצע רגרסיה ליניארית, תוך התחשבות בחשיבותם של דמויות משמעותיות. תתרגל גם מיומנויות מעבדה, כמו סינון ומדידת נפח באמצעות פיפטות, תוך שימת לב לאי הוודאות במדידות ובניתוח.