מבחן הנגזרת הראשונה: פתרון בעיות מתקדמות

דמיינו מחיר נכס שצונח לנקודה נמוכה, מתאושש בחדות כאשר רוכשים המחפשים מציאות נכנסים לפעולה, ולאחר מכן יורד בהדרגה. התנהגות כזו ניתנת למידול באמצעות פונקציה חלקה, שבה נקודות המפנה מייצגות אזורים של ערך יתר או תת־הערכה מקומיים. דוגמה מתאימה המתארת ריבאונד ואחריו דעיכה היא:

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

נקודות השיא והשפל של עקומה זו נקבעות באמצעות מבחן הנגזרת הראשונה, הקובע היכן הפונקציה משנה את מגמתה מעלייה לירידה או להפך. ראשית, מחושבת הנגזרת הראשונה. מכיוון שהפונקציה מורכבת ממכפלה של איבר פולינומיאלי ואיבר מעריכי, יש ליישם את כלל המכפלה בגזירה. לאחר חישוב הנגזרת, הביטוי מפושט על ידי חילוץ גורמים משותפים מכל איברי הנגזרת.

לאחר מכן, הנגזרת מושווית לאפס, ופתרון המשוואה מניב את הנקודות הקריטיות – ערכים שבהם השיפוע הוא אפס או שבהם נדרשת בדיקת סימן הנגזרת. נקודות קריטיות אלו מחלקות את התחום למרווחים לצורך ניתוח נוסף.

בשלב הבא, נבחרות נקודות בדיקה בתוך כל מרווח ומוערך סימן הנגזרת. נגזרת חיובית מצביעה על כך שמחיר הנכס הממודל עולה במרווח זה, בעוד נגזרת שלילית מצביעה על ירידה. מעבר מהנגזרת החיובית לשלילית מאותת על שינוי מגמה מעלייה לירידה, ומזהה מקסימום מקומי. מעבר מהנגזרת השלילית לחיובית מזהה מינימום מקומי, המתאים לשפל בעקומת המחיר.

לבסוף, הצבת הערכים הקריטיים בפונקציה המקורית מספקת את רמות המחיר המתאימות בנקודות המפנה הללו. נקודות הקיצון המקומיות הללו קריטיות לניתוח שווי, שכן הן מסמנות אזורי היפוך פוטנציאליים ועוזרות לכמת את המקומות שבהם המומנטום משתנה מהתאוששות לירידה או מירידה להתאוששות.