Test della derivata prima: risoluzione di problemi

Si immagini il prezzo di un’attività finanziaria che crolla fino a un punto minimo, rimbalza bruscamente quando intervengono investitori in cerca di occasioni e poi cala gradualmente. Un comportamento di questo tipo può essere modellato mediante una funzione regolare i cui punti di svolta rappresentano regioni localmente sopravvalutate e localmente sottovalutate. Un esempio utile, che descrive un rimbalzo seguito da un declino graduale, è:

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

I punti di massimo e di minimo di questa curva si individuano mediante il test della derivata prima, che determina dove la funzione passa dall’essere crescente all’essere decrescente o viceversa. Per iniziare, si calcola la derivata prima. Poiché la funzione è il prodotto di un termine polinomiale e di un termine esponenziale, per derivare occorre applicare la regola del prodotto. Dopo aver derivato, l’espressione ottenuta viene semplificata raccogliendo a fattore comune i termini presenti in tutte le componenti della derivata.

La derivata viene quindi posta uguale a zero e, risolvendo l’equazione, si ottengono i punti critici, ossia i valori della variabile indipendente per i quali la pendenza è nulla oppure per i quali occorre applicare il test del segno della derivata. Tali punti critici suddividono il dominio in intervalli da analizzare ulteriormente.

Successivamente, si scelgono punti di controllo all’interno di ciascun intervallo e si valuta il segno della derivata. Una derivata positiva indica che il prezzo dell’attività finanziaria modellato è crescente in quell’intervallo, mentre una derivata negativa indica che è decrescente. Un cambiamento della derivata da positiva a negativa segnala una transizione da crescita a decrescenza, identificando un massimo locale. Un cambiamento da negativa a positiva identifica invece un minimo locale, corrispondente a un minimo nella curva dei prezzi.

Infine, sostituendo tali valori critici nella funzione originale si ottengono i livelli di prezzo corrispondenti a tali punti di svolta. Questi estremi locali sono centrali nell’analisi valutativa perché individuano potenziali aree di inversione e consentono di quantificare dove lo slancio passa dalla ripresa al declino o dal declino alla ripresa.