Teste da Segunda Derivada: Resolução de Problemas

Considere uma caneca cuja área de seção transversal varia com a altura — ela é mais larga na parte inferior e superior e mais estreita no meio.

Quando o café é servido nessa caneca em uma taxa volumétrica constante, o nível de café aumenta com o tempo. A taxa desse aumento é inversamente relacionada à área da seção transversal nessa altura.

A concavidade da curva depende do sinal da segunda derivada da altura em relação ao tempo.

Na metade inferior da caneca, a área da seção transversal muda de forma que faz a altura acelerar. Como a altura do líquido acelera, a segunda derivada é positiva nessa região, resultando em uma curva côncava para cima.

Por outro lado, a área da seção transversal aumenta na metade superior e mostra o efeito oposto, altura desacelera, ou seja, a segunda derivada é negativa e corresponde a uma região côncava para baixo no gráfico.

Pontos de inflexão marcam onde a concavidade muda.

Neste exemplo, o ponto de inflexão está localizado próximo ao meio da caneca, onde a área da seção transversal é mínima. Assim, a aceleração da altura representada pela segunda derivada diminuiu para zero após sua passagem de valores positivos para negativos.