Научные измерения и лабораторные навыки

Двумерные графы

Некоторые химические эксперименты принимают форму прямого изменения одного свойства изучаемой системы, известного как независимая переменная, например, температура, и измерения влияния на другое свойство, также известное как зависимая переменная, например, объем. После того, как данные собраны, взаимодействие между двумя параметрами должно быть количественно оценено — или преобразовано в форму, которую можно оценить, — и сравнено с другими отношениями.

Двумерные графы могут быть использованы для вывода определенных типов математических отношений между двумя свойствами или для установления того, что между ними не существует такой связи. Анализ в конечном итоге определит, как зависимая переменная изменяется в ответ на независимую переменную. В примере с регулировкой температуры жидкости или газа и мониторингом изменений его объема температура является независимой переменной, а объем — зависимой переменной.

Чтобы построить двумерный график, каждая точка данных должна иметь значение, известное как координата как зависимых, так и независимых переменных. Независимая переменная отображается на оси x, а зависимая переменная — на оси y. Эти графики легко создаются в программном обеспечении для работы с электронными таблицами, которое также можно использовать для анализа построенных данных.

аппроксимация кривой

После того, как набор данных был нанесен на двумерный график, можно использовать аппроксимацию кривой для создания уравнения или функции для зависимой переменной в терминах независимой переменной. Функции представляют собой математическую модель, которая наилучшим образом моделирует данные, из которых она получена. Аппроксимация кривой — это метод нахождения функции, которая создает линию, хорошо соответствующую шаблону точек данных. Программное обеспечение для работы с электронными таблицами имеет различные инструменты подгонки кривых, которые называются «наилучшим соответствием». Обычно это линейный регрессионный анализ по методу наименьших квадратов, хотя большинство программ также предлагает нелинейную регрессию по методу наименьших квадратов.

Точность наиболее подходящего линейного уравнения может быть проверена путем подстановки значений x для точек данных и сравнения «теоретических» результатов уравнения с фактическими значениями y точек данных. Программное обеспечение для работы с электронными таблицами обычно вычисляет значение коэффициента детерминации (R²) для функции, которое показывает, насколько хорошо функция соответствует точкам данных. Чем ближе значение R² к 1, тем лучше подходит для линейной регрессии. Другие функции имеют более специализированные методы для определения того, насколько хорошо функция соответствует данным.

Определение неопределенности зависимых значений, вычисленных из функции наилучшего соответствия, потребовало бы сложных методов «распространения ошибок». Тем не менее, можно вычислить неопределенность в уравнении в виде стандартного отклонения как для наклона, так и для точки пересечения с осью y функции наилучшего соответствия. Обычно это выполняется с помощью инструмента, отличного от того, который используется для создания двумерного графика.

стандартное отклонение

Стандартное отклонение описывает величину вариации, присутствующей в наборе значений. Стандартное отклонение популяции (σ) используется, когда есть данные от каждого члена конечной популяции, такие как масса каждого шарика в мешке с шариками. Образец стандартного отклонения (ов) используется для всех остальных случаев и является расчетом стандартного отклонения по умолчанию в программном обеспечении для работы с электронными таблицами. ¹ Можно предположить, что «стандартное отклонение» относится к выборочному стандартному отклонению.

Предполагается, что случайная ошибка измерения следует примерно «нормальному» распределению, где около 68% набора значений лежат в диапазоне одного стандартного отклонения по обе стороны от среднего, 95% значений лежат в пределах двух стандартных отклонений по обе стороны от среднего и 99,7% значений лежат в пределах трех стандартных отклонений по обе стороны от среднего. Таким образом, стандартное отклонение является полезным способом описания ошибок и неопределенностей.

Уравнение для стандартного отклонения выборки выглядит следующим образом:

В этом уравнении N — количество значений; — среднее (или среднее) значений; а x_i представляет каждое отдельное значение. Таким образом, чтобы вычислить стандартное отклонение вручную, вычислите среднее значение набора значений, вычтите среднее из каждого значения, возведите в квадрат каждую разницу, сложите квадраты разностей, разделите общую сумму на единицу меньше, чем количество значений, и возьмите квадратный корень из частного. Чем ближе s к нулю, тем меньше разброс между значениями. Если значения введены в программное обеспечение для работы с электронными таблицами, стандартное отклонение может быть рассчитано в программном обеспечении.

Количество значащих цифр в стандартном отклонении зависит от того, для каких значений оно предназначено. При сообщении стандартного отклонения для группы точек данных, полученных в одинаковых условиях, сначала необходимо определить соответствующее количество значащих цифр в среднем значении. Затем стандартное отклонение округляется до того же количества знаков после запятой, что и среднее. Для набора объемов с четырьмя значащими цифрами, средним значением 15,361 мл и стандартным отклонением 0,2313, среднее значение и стандартное отклонение будут представлены как 15,36 мл ± 0,23 мл.

При сообщении о стандартном отклонении среднего значения и y-точки для функции наилучшего соответствия, определенной с помощью анализа по методу наименьших квадратов, который является обычным методом для работы с электронными таблицами, первый десятичный знак стандартного отклонения является последней значащей цифрой среднего значения или y-точки. Таким образом, стандартное отклонение должно быть округлено до одного значащего знака после запятой, а наклон или y-точка пересечения должна быть округлена до соответствующего знака после запятой. Например, если наклон равен 0,1691 Л·^К-1 и имеет стандартное отклонение 0,00512, то наклон должен быть указан как 0,169 Л·^К-1 ± 0,005 Л·^К-1.

Если стандартное отклонение наклона или точки пересечения с осью y настолько меньше соответствующего значения, что следование этому правилу дает более значащие значения наклона или точки пересечения, чем это позволяют исходные данные измерения, то вместо этого определите значащие значения наклона или точки пересечения по осям x и y и округлите стандартное отклонение до одной значащей величины. Таким образом, для наклона 0,1691 L·^K-1, стандартного отклонения 0,0000512 и значений x и y с четырьмя значащими цифрами наклон должен быть указан как 0,1691 L·^K-1 ± 0,00005 L·^K-1. В этом случае вычисленное значение и его стандартное отклонение могут иметь разное количество знаков после запятой. Имейте в виду, что метод наименьших квадратов использует значения x и y для вычисления наклона и y-пересечения.

При указании стандартного отклонения как диапазона неопределенности обязательно обратите особое внимание, что неопределенность представляет собой одно стандартное отклонение. Это говорит читателю о том, что существует около 68% вероятности того, что истинное значение измерения находится в пределах этого диапазона среднего значения, предполагая нормальное распределение. Часто может быть более целесообразным сообщать о неопределенности в виде двух стандартных отклонений от среднего, так как это увеличивает вероятность примерно до 95%. Для этого просто умножьте стандартное отклонение на два, прежде чем округлить его до соответствующего числа значащих цифр.

Ссылки

1. Harris, D.C. (2015). Количественный химический анализ. Нью-Йорк, Нью-Йорк: W.H. Freeman and Company.

Перевод экспериментальных результатов из точек данных в визуальные представления, такие как графики, имеет важное значение для определения взаимосвязи между двумя или более свойствами. Эти свойства называются переменными. Когда переменных две, график, созданный на основе данных, называется двумерным. График имеет две оси. Независимая переменная отображается на оси x, а зависимая переменная — на оси y.

Возьмем, к примеру, этот образец данных о температуре и объеме газа. Объем газа зависит от температуры. Таким образом, мы построим график измеренной температуры по оси x и объема по оси y.

Когда есть несколько точек данных с одинаковым x-значением, например, если мы измеряем объем несколько раз при одной температуре, мы также вычисляем стандартное отклонение этих измерений. Стандартное отклонение — это статистическая величина, которая указывает на величину вариации, присутствующей в наборе значений.

Стандартное отклонение вычисляется по следующей формуле, где n — количество точек данных, x bar — среднее значение точек данных, а x_i представляет каждую отдельную точку данных. Вы можете вычислить стандартное отклонение вручную, или программа для работы с электронными таблицами может вычислить его автоматически. Чем ближе стандартное отклонение к 0, тем ближе точки данных к среднему значению. Если стандартное отклонение равно 0, то все введенные точки данных имеют одинаковое значение.

Давайте рассмотрим средние значения и стандартные отклонения измерений объема при каждой температуре в нашем наборе данных. Мы можем суммировать каждый набор точек данных как среднее значение плюс-минус стандартное отклонение. Мы определяем значащие значения для каждого среднего значения из соответствующих измерений и округляем средние значения соответственно.

Стандартное отклонение каждой группы должно иметь такое же количество знаков после запятой, как и среднее, поэтому мы округляем каждое стандартное отклонение до сотых долей. Чтобы графически определить связь между двумя переменными, мы можем подогнать данные с помощью функции наилучшего соответствия.

Функция автоматически генерируется программным обеспечением для работы с электронными таблицами и может принимать форму линейной линии тренда, полиномиальной функции, экспоненциальной или логарифмической функции. В случае наших данных о температуре и объеме зависимость является линейной. Таким образом, точки данных подгоняются с помощью линейной регрессии по методу наименьших квадратов. Ваша программа для работы с электронными таблицами вернет уравнение для линии наилучшего соответствия и значения r-квадрат. Чем ближе значение r-квадрата к 1, тем лучше соответствие данных.

Затем вы можете использовать программное обеспечение для работы с электронными таблицами для поиска стандартных отклонений наклона, точки пересечения по оси y и вычисленного значения y. Чтобы определить значащие цифры для значений в уравнении, мы следуем простому правилу. Последняя значащая цифра каждого значения соответствует первому значащему знаку после запятой его стандартного отклонения.

Таким образом, мы округляем наклон до тысячных и y-пересечение до десятых долей, а стандартные отклонения округляем до соответствия. Наш уклон составляет 0,167 +/- 0,003 литра на Кельвина, а наш y-образный пересечение составляет -40,6 +/- 1,2 литра. Любое вычисленное y-значение будет округлено до десятых долей и составит +/- 0,8 литра. Это уравнение описывает взаимосвязь между температурой и объемом газа.

В этом лабораторном занятии вы создадите набор данных зависимых и независимых переменных, измерив диаметр и окружность стаканов различных размеров. Затем вы будете использовать эти данные для создания точечной диаграммы и выполнения линейной регрессии, учитывая важность значащих фигур. Вы также будете практиковать лабораторные навыки, такие как фильтрация и измерение объема с помощью пипеток, обращая внимание на неопределенность в измерениях и анализе.