余弦定理

余弦定理是三角学中的一个基本公式，它揭示了三角形三边的长度与其中一个角的余弦值之间的关系。该定理可视为勾股定理的推广形式，使得在非直角三角形中进行边长与角度的计算成为可能。当无法直接测量某一边或某一角时，余弦定理尤其有用，常被应用于测量学、航海以及工程领域。

对于任意一个三角形，其三边分别为 a、b、c，对应的角为 A、B、C，则余弦定理可表示为：

其他边的表达式可写为：

该定理主要适用于两种情形：一是已知两条边及其夹角，二是已知三边但要求出夹角。

除了在地面测量中的应用外，余弦定理在天文学中也具有重要作用，可用于计算从地球视角形成三角形的天体间距离。此外，它还用于机器人学中确定机械臂的关节角度，以及物理学中求解作用于夹角方向的力的分量。

例如，设三角形的边长 a=7 单位长度，b=10 单位长度，夹角 C=60°。根据余弦定理：

这说明了余弦定理能够在复杂几何条件下实现精确的距离计算。