Wissenschaftliche Mess- und Laborfähigkeiten

Zweidimensionale Graphen

Einige chemische Experimente bestehen darin, eine Eigenschaft des Systems, das Sie untersuchen, direkt zu ändern, auch bekannt als unabhängige Variable, wie die Temperatur, und die Auswirkungen auf eine andere Eigenschaft zu messen, die auch als abhängige Variable bekannt ist, wie z. B. das Volumen. Sobald die Daten gesammelt sind, muss die Wechselwirkung zwischen den beiden Parametern quantifiziert – oder in eine Form umgewandelt werden, die ausgewertet werden kann – und mit anderen Beziehungen verglichen werden.

Zweidimensionale Graphen können verwendet werden, um bestimmte Arten von mathematischen Beziehungen zwischen zwei Eigenschaften abzuleiten oder um festzustellen, dass eine solche Beziehung zwischen ihnen nicht besteht. Die Analyse bestimmt letztendlich, wie sich die abhängige Variable als Reaktion auf die unabhängige Variable ändert. Im Beispiel der Anpassung der Temperatur einer Flüssigkeit oder eines Gases und der Überwachung von Änderungen ihres Volumens ist die Temperatur die unabhängige Variable und das Volumen die abhängige Variable.

Um ein zweidimensionales Diagramm zu erstellen, muss jeder Datenpunkt einen Wert haben, der sowohl für die abhängigen als auch für die unabhängigen Variablen als Koordinate bezeichnet wird. Die unabhängige Variable wird auf der x-Achse und die abhängige Variable auf der y-Achse dargestellt. Diese Diagramme können einfach in einer Tabellenkalkulationssoftware erstellt werden, die auch zur Analyse der gezeichneten Daten verwendet werden kann.

Kurven-Anpassung

Nachdem ein Datensatz in einem zweidimensionalen Diagramm dargestellt wurde, kann die Kurvenanpassung verwendet werden, um eine Gleichung oder Funktion für die abhängige Variable in Bezug auf die unabhängige Variable zu generieren. Funktionen stellen ein mathematisches Modell dar, das die Daten, aus denen es abgeleitet wird, am besten modelliert. Kurvenanpassung ist die Technik, bei der eine Funktion gefunden wird, die eine Linie erzeugt, die gut mit dem Muster der Datenpunkte übereinstimmt. Tabellenkalkulationssoftware verfügt über verschiedene Werkzeuge zur Kurvenanpassung, die als "Best-Fit" bezeichnet werden. Dabei handelt es sich in der Regel um eine lineare Regressionsanalyse der kleinsten Quadrate, obwohl die meisten Programme auch eine nichtlineare Regression der kleinsten Quadrate anbieten.

Die Genauigkeit der am besten angepassten linearen Gleichung kann überprüft werden, indem die x-Werte für die Datenpunkte eingegeben und die "theoretischen" Ergebnisse der Gleichung mit den tatsächlichen y-Werten der Datenpunkte verglichen werden. Tabellenkalkulationssoftware berechnet in der Regel den Wert des Bestimmtheitskoeffizienten (R²) für die Funktion, der angibt, wie gut die Funktion mit den Datenpunkten übereinstimmt. Je näher der^R2-Wert an 1 liegt, desto besser ist die Anpassung für eine lineare Regression. Andere Funktionen verfügen über speziellere Methoden, um zu bestimmen, wie gut die Funktion an die Daten angepasst ist.

Die Bestimmung der Unsicherheit abhängiger Werte, die aus der Best-Fit-Funktion berechnet werden, würde komplizierte "Fehlerfortpflanzungs"-Techniken erfordern. Es ist jedoch möglich, die Unsicherheit innerhalb der Gleichung in Form der Standardabweichung sowohl für die Steigung als auch für den y-Achsenabschnitt einer Best-Fit-Funktion zu berechnen. Dies wird in der Regel mit einem anderen Werkzeug durchgeführt als dem, das zum Generieren eines zweidimensionalen Diagramms verwendet wird.

Standardabweichung

Die Standardabweichung beschreibt das Ausmaß der Streuung, die in einer Reihe von Werten vorhanden ist. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) wird verwendet, wenn Daten von jedem Mitglied einer endlichen Grundgesamtheit vorhanden sind, z. B. die Masse jeder Murmel in einem Beutel Murmeln. Die Stichprobenstandardabweichung(en) wird für alle anderen Fälle verwendet und ist die Standardberechnung der Standardabweichung in Tabellenkalkulationssoftware. ¹ Sie können davon ausgehen, dass sich die "Standardabweichung" auf die Standardabweichung der Stichprobe bezieht.

Es wird davon ausgegangen, dass der zufällige Messfehler einer ungefähren "Normalverteilung" folgt, bei der etwa 68 % eines Wertesatzes innerhalb eines Bereichs von einer Standardabweichung auf beiden Seiten des Mittelwerts liegen, 95 % der Werte innerhalb von zwei Standardabweichungen auf beiden Seiten des Mittelwerts und 99,7 % der Werte innerhalb von drei Standardabweichungen auf beiden Seiten des Mittelwerts. Daher ist die Standardabweichung ein nützliches Mittel, um Fehler und Unsicherheit zu beschreiben.

Die Gleichung für die Standardabweichung der Stichprobe lautet:

In dieser Gleichung ist N die Anzahl der Werte; ist der Durchschnitt (oder Mittelwert) der Werte; und x_i steht für jeden einzelnen Wert. Um also die Standardabweichung von Hand zu berechnen, berechnen Sie den Mittelwert der Wertemenge, subtrahieren Sie den Mittelwert von jedem Wert, quadrieren Sie jede Differenz, addieren Sie die quadrierten Differenzen, dividieren Sie die Gesamtsumme durch eins weniger als die Anzahl der Werte und ziehen Sie die Quadratwurzel des Quotienten. Je näher s an Null liegt, desto geringer ist die Abweichung zwischen den Werten. Wenn die Werte in eine Tabellenkalkulationssoftware eingegeben werden, kann die Standardabweichung aus der Software heraus berechnet werden.

Die Anzahl der signifikanten Stellen in einer Standardabweichung hängt davon ab, für welche Werte es sich handelt. Bei der Angabe der Standardabweichung für eine Gruppe von Datenpunkten, die unter denselben Bedingungen erhoben wurden, muss zunächst die entsprechende Anzahl signifikanter Stellen im Mittelwert bestimmt werden. Die Standardabweichung wird dann auf die gleiche Anzahl von Dezimalstellen wie der Mittelwert gerundet. Für einen Satz von Volumina mit vier signifikanten Ziffern, einem Mittelwert von 15,361 ml und einer Standardabweichung von 0,2313, würden der Mittelwert und die Standardabweichung als 15,36 ml ± 0,23 ml angegeben.

Bei der Angabe der Standardabweichung des Mittelwerts und des y-Achsenabschnitts für eine Best-Fit-Funktion, die durch die Analyse der kleinsten Quadrate bestimmt wird, was die übliche Methode für Tabellenkalkulationssoftware ist, ist die erste Dezimalstelle der Standardabweichung die letzte signifikante Zahl des Mittelwerts oder y-Achsenabschnitts. Daher sollte die Standardabweichung auf eine signifikante Dezimalstelle gerundet werden, und die Steigung oder der y-Achsenabschnitt sollte auf die entsprechende Dezimalstelle gerundet werden. Wenn die Steigung z. B. 0,1691 L·^K-1 beträgt und eine Standardabweichung von 0,00512 aufweist, sollte die Steigung als 0,169 L·^K-1 ± 0,005 L·^K-1 angegeben werden.

Wenn die Standardabweichung der Steigung oder des y-Achsenabschnitts so viel kleiner ist als der entsprechende Wert, dass die Steigung oder der y-Achsenabschnitt nach dieser Regel signifikantere Zahlen ergeben würde, als die ursprünglichen Messdaten zulassen würden, dann bestimmen Sie stattdessen die signifikanten Zahlen der Steigung oder des y-Achsenabschnitts aus den x- und y-Werten und runden Sie die Standardabweichung auf eine signifikante Zahl. Für eine Steigung von 0,1691 L·^K-1, eine Standardabweichung von 0,0000512 und x- und y-Werte mit vier signifikanten Ziffern sollte die Steigung also als 0,1691 L·^K-1 ± 0,00005 L·K^{- 1} angegeben werden. In diesem Fall ist es in Ordnung, wenn der berechnete Wert und seine Standardabweichung eine andere Anzahl von Dezimalstellen aufweisen. Beachten Sie, dass bei der Methode der kleinsten Quadrate sowohl die x- als auch die y-Werte verwendet werden, um die Steigung und den y-Achsenabschnitt zu berechnen.

Standardabweichung als Unsicherheitsbereich angeben, beachten Sie ausdrücklich, dass die Unsicherheit eine Standardabweichung darstellt. Dies sagt dem Leser, dass es eine Wahrscheinlichkeit von etwa 68 % gibt, dass der wahre Wert einer Messung innerhalb dieses Bereichs des Mittelwerts liegt, wenn eine Normalverteilung angenommen wird. Es kann oft besser sein, die Unsicherheit als zwei Standardabweichungen vom Mittelwert anzugeben, da dies die Wahrscheinlichkeit auf etwa 95% erhöht. Multiplizieren Sie dazu einfach die Standardabweichung mit zwei, bevor Sie sie auf die entsprechende Anzahl signifikanter Stellen runden.

Referenzen

1. Harris, D.C. (2015). Quantitative chemische Analyse. New York, NY: W.H. Freeman und Company.