Prueba de la primera derivada: resolución de problemas

Imagine el precio de un activo que cae a un mínimo, rebota bruscamente ante la intervención de los compradores oportunistas y luego disminuye gradualmente. Este comportamiento puede modelarse con una función suave cuyos puntos críticos representan regiones localmente sobrevaloradas e infravaloradas. Un ejemplo ilustrativo que captura el rebote seguido de la caída es:

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

Los puntos máximo y mínimo de esta curva se identifican mediante la prueba de la primera derivada, que determina dónde la función cambia de creciente a decreciente o viceversa. Para comenzar, se calcula la primera derivada. Dado que la función es el producto de un término polinómico y un término exponencial, la derivación requiere la regla del producto. Tras la derivación, la expresión resultante se simplifica factorizando los términos comunes a todas las partes de la derivada.

La derivada se iguala entonces a cero y, al resolver, se obtienen los puntos críticos de la variable independiente: puntos donde la pendiente es cero o donde se debe comprobar la prueba de la primera derivada. Estos puntos críticos dividen el dominio en intervalos para su posterior análisis.

A continuación, se eligen puntos de prueba dentro de cada intervalo y se evalúa el signo de la derivada. Una derivada positiva indica que el precio del activo modelado aumenta en ese intervalo, mientras que una derivada negativa indica que disminuye. Un cambio en la derivada de positiva a negativa indica una transición de creciente a decreciente, identificando un máximo local. Un cambio de negativa a positiva identifica un mínimo local, que corresponde a un mínimo local en la curva de precios.

Finalmente, al sustituir los puntos críticos en la función original, se obtienen los niveles de precios correspondientes en dichos puntos. Estos extremos locales son fundamentales para el análisis de valoración, ya que marcan posibles regiones de reversión y ayudan a cuantificar dónde el impulso cambia de recuperación a declive o de declive a recuperación.