10.3
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une liste de nombres où chaque terme augmente ou diminue du même nombre fixe, connu sous le nom de différence commune. Considérez un tas de poteaux. La première couche contient 25 pôles, et le nombre de pôles continue de diminuer de 1 dans chaque couche successive.
Étant donné que le tas comporte 12 couches, l’objectif est de trouver le nombre total de poteaux.
Cette disposition forme une séquence arithmétique, car le nombre de pôles diminue d’une quantité constante d’une couche à l’autre.
Dans ce scénario, le nombre de pôles dans la 12e couche est calculé à l’aide de la formule du nième terme d’une suite arithmétique, en fonction du premier terme, de la différence commune et du nombre de couches. Les valeurs de ces termes sont ensuite substituées dans la formule, qui se simplifie en 25 moins 11, ce qui donne 14 pôles dans la 12e couche.
Le nombre total de pôles dans la pile, appelé somme partielle de la séquence, est ensuite calculé en prenant la moyenne du nombre de pôles dans la première et la dernière couche et en la multipliant par le nombre total de couches. On parle de somme partielle puisque seuls les 12 premiers termes de la suite sont additionnés. Il en résulte une somme partielle de 12 multipliée par la moyenne de 25 et 14, ce qui donne 234 pôles.
Une suite arithmétique est une suite ordonnée de nombres où chaque terme s’obtient en ajoutant au terme précédent une valeur constante, appelée raison. Cette régularité permet de calculer efficacement n’importe quel terme de la suite, ainsi que la somme cumulée de plusieurs termes. La formule permettant d’obtenir le n-ième terme d’une suite arithmétique est :
Ici, a_n désigne le n-ième terme de la suite, a est le premier terme, d est la raison, et n est le rang du terme dans la suite. Cette formule est essentielle pour déterminer la valeur de tout terme sans énumérer l’ensemble des termes précédents. Pour calculer la somme des n premiers termes, appelée somme partielle, on utilise l’une des formules suivantes :
Dans ces expressions, S_n désigne la somme des n premiers termes, et a_n désigne à nouveau le n-ième terme, obtenu à l’aide de la formule précédente. Ces formules offrent une approche concise et systématique pour l’analyse de modèles numériques régulièrement espacés, tant en contexte théorique que pratique.
Une suite arithmétique est une liste de nombres où chaque terme augmente ou diminue du même nombre fixe, connu sous le nom de différence commune. Considérez un tas de poteaux. La première couche contient 25 pôles, et le nombre de pôles continue de diminuer de 1 dans chaque couche successive.
Étant donné que le tas comporte 12 couches, l’objectif est de trouver le nombre total de poteaux.
Cette disposition forme une séquence arithmétique, car le nombre de pôles diminue d’une quantité constante d’une couche à l’autre.
Dans ce scénario, le nombre de pôles dans la 12e couche est calculé à l’aide de la formule du nième terme d’une suite arithmétique, en fonction du premier terme, de la différence commune et du nombre de couches. Les valeurs de ces termes sont ensuite substituées dans la formule, qui se simplifie en 25 moins 11, ce qui donne 14 pôles dans la 12e couche.
Le nombre total de pôles dans la pile, appelé somme partielle de la séquence, est ensuite calculé en prenant la moyenne du nombre de pôles dans la première et la dernière couche et en la multipliant par le nombre total de couches. On parle de somme partielle puisque seuls les 12 premiers termes de la suite sont additionnés. Il en résulte une somme partielle de 12 multipliée par la moyenne de 25 et 14, ce qui donne 234 pôles.
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