$$\rightleftharpoonup{xx}$$
$$\longleftharp{xx}$$,
$$\longrightharp{xx}$$,
I vettori possono essere moltiplicati per gli scalari, aggiunti o sottratti da altri vettori. La somma di due (o più) vettori è chiamata vettore risultante o, in breve, il risultante.
Le leggi della geometria vengono usate per costruire i vettori risultanti, seguite dalla trigonometria per trovare magnitudini vettoriali e direzioni. Per effettuare una costruzione geometrica di due vettori in un piano, seguiamo la regola del parallelogramma. Supponiamo che due vettori siano in posizioni arbitrarie. Convertiamo uno dei due in parallelo all'inizio dell'altro vettore, in modo che dopo la conversione, entrambi i vettori abbiano lo stesso punto d'origine. Adesso, alla fine del primo vettore tracciamo una linea parallela al secondo vettore. In questo modo, otteniamo un parallelogramma. Dall'origine dei due vettori, disegniamo una diagonale che sarà la risultante dei due vettori.
L'altra diagonale del parallelogramma è la differenza vettoriale dei due vettori. Dalla regola del parallelogramma ne consegue che né la grandezza del vettore risultante, né la grandezza del vettore di differenza, possono essere espresse come una semplice somma o differenza di grandezza dei vettori. Questo perché la lunghezza di una diagonale non può essere espressa come una semplice somma di lunghezze laterali. Se c'è la necessità di aggiungere tre o più vettori, ripetiamo la regola del parallelogramma per le coppie di vettori, finché non troviamo la risultante di tutti i vettori risultanti.
Disegnare il vettore risultante da molti vettori può essere generalizzato usando la costruzione geometrica tail-to-head. Selezioniamo uno qualsiasi dei vettori come primo vettore e facciamo una conversione parallela di un secondo vettore in una posizione in cui l'origine (coda) del secondo vettore coincida con la fine (testa) del primo vettore. A questo punto, selezioniamo un terzo vettore e facciamo una conversione parallela di quest'ultimo in una posizione in cui la sua origine coincida con la fine del secondo vettore. Ripetiamo questa procedura fino a quando tutti i vettori saranno in una posizione testa-coda. Adesso disegniamo il vettore risultante collegando l'origine (coda) del primo vettore con la fine (testa) dell'ultimo. La fine del vettore risultante è alla fine dell'ultimo vettore. Siccome in questa costruzione l'aggiunta di vettori è associativa e commutativa, otteniamo lo stesso vettore risultante indipendentemente da quale scegliamo essere il primo, secondo, terzo o quarto.
La moltiplicazione scalare di un vettore dà una quantità vettoriale. A seconda del segno associato alla quantità scalare, viene determinata la direzione del vettore. Ad esempio, se moltiplichiamo la quantità vettoriale con uno scalare positivo, il nuovo vettore sarà parallelo al vettore dato e viceversa.
Questo testo è stato adattato da Openstax, University Physics Volume 1, Section 2.3: Algebra of Vectors.
