Vettori in più direzioni

I vettori sono quantità con magnitudine e direzione, a differenza degli scalari, che hanno solo una magnitudine e un segno.

Forza, accelerazione e velocità sono esempi di vettori. Mentre massa, energia e tempo sono esempi di scalari.

Un vettore è solitamente rappresentato da una freccia. La lunghezza della freccia corrisponde alla sua grandezza e l’angolo indica la direzione.

Questo video mostrerà un sistema di forze che possono essere analizzate con addizione e sottrazione vettoriale e dimostrerà come tali operazioni producano risultati importanti per la comprensione di diversi fenomeni fisici.

La descrizione di un vettore richiede un sistema di coordinate. All’interno di questo sistema di riferimento scelto, questo esempio di una palla calciata in aria ha un vettore di velocità iniziale. Come spiegato in precedenza, la lunghezza della freccia rappresenta la grandezza della velocità. E la direzione del vettore è il suo angolo da terra.

Qualsiasi vettore può essere scomposto in componenti, che sono vettori stessi lungo gli assi x e y. Se la velocità iniziale della palla è di 20 metri al secondo a 60 gradi, la componente orizzontale è velocità volte coseno di 60 gradi e ha una magnitudine di 10 metri al secondo. La componente verticale è velocità tempi seno di 60 gradi e ha una magnitudine di circa 17,3 metri al secondo.

L’aggiunta vettoriale di componenti orizzontali e verticali ricostruisce il vettore di velocità originale. Per aggiungere vettori, immagina di posizionare la testa di uno alla coda dell’altro. In questo esempio i vettori sono ad angolo retto. La somma risulta quando si viaggia direttamente dalla coda del primo alla testa del secondo.

Queste componenti sono ad angolo retto, quindi la grandezza della somma è data dal teorema di Pitagora. L’angolo è la tangente dell’arco della componente verticale divisa per la componente orizzontale.

Quando si aggiungono due vettori che non sono perpendicolari, scomporre ciascuno in componenti x e y, quindi aggiungere componenti corrispondenti. Infine, calcola la somma vettoriale delle componenti orizzontali e verticali come spiegato in precedenza. Sottrarre un vettore da un altro equivale a negare il secondo vettore e aggiungerlo al primo. Come prima, scomporre ogni vettore in componenti x e y. Quindi sottrarre il componente x più piccolo da quello più grande e fare lo stesso per i componenti y. Quindi, come prima, calcola la somma vettoriale delle componenti x e y risultanti.

Per dimostrare l’aggiunta e la sottrazione di vettori in un laboratorio di fisica, l’attrezzatura comunemente usata è una tabella di forza. Questo è un disco con angoli segnati attorno al perimetro, un anello al centro attaccato a cavi con masse all’altra estremità sospese da pulegge. Le masse producono forze, che sono i vettori da studiare. La forza lungo ogni corda è uguale alla forza gravitazionale, o mg,con unità di Newton.

Ora, in questo set-up, se ci sono solo due masse uguali a 180 gradi l’una dall’altra, allora producono forze con una somma vettoriale di zero. Questa condizione è chiamata equilibrio, che si traduce in accelerazione zero e quindi l’anello non si muoverà.

Ma se le due forze che tirano l’anello non si annullano a vicenda, ad esempio a causa del cambiamento di angolo, allora la forza netta diversa da zero causerebbe lo spostamento dell’anello. In tali casi, se conosciamo le grandezze e le direzioni di queste forze, allora possiamo usare l’addizione e la sottrazione vettoriale per calcolare la terza forza necessaria per ristabilire l’equilibrio.

Nella prossima sezione mostreremo come condurre tali esperimenti di tabella di forza che testano i principi teorici dell’addizione e della sottrazione vettoriale

Se le due forze sono uguali e opposte, l’anello al centro del tavolo non dovrebbe muoversi. In questo caso, ogni vettore di forza si oppone esattamente all’altro in grandezza e direzione. La somma vettoriale ha magnitudine zero, che è la condizione di forza netta zero, o equilibrio.

Per convalidare i principi di addizione e sottrazione vettoriale, impostare le masse e gli angoli per le forze A e B come indicato nella prima riga di questa tabella. Mantenere l’angolo per A a zero gradi. Ora, imposta la terza forza aggiungendo masse e cambiando l’angolo fino a quando l’anello non si muove.

Dopo aver raggiunto l’equilibrio, calcola la forza di C moltiplicando la sua massa per l’accelerazione dovuta alla gravità. Inoltre, registrare la magnitudine e l’angolo per la forza C.

Ripeti questo test per i tre diversi casi e registra ogni volta l’entità e l’angolo della forza C.

Per i quattro set-up sperimentali, questa tabella mostra le grandezze calcolate delle forze A e B e gli angoli di B rispetto ad A. Usando il primo set-up come esempio, possiamo calcolare la forza C necessaria per stabilire l’equilibrio sulla tabella.

Qui la forza A ha una magnitudine di 0,98 Newton a 0°. La forza B ha la stessa magnitudine di 0,98 Newton ma un angolo di 20°. Per determinare il vettore per C, scomporre le forze A e B nelle loro componenti x e y. Nota che la forza A è diretta solo lungo l’asse x e non ha alcun componente y. Quindi aggiungi i componenti per ottenere i vettori x e y, che sono la somma dei vettori A e B.

Per raggiungere l’equilibrio, le componenti x e y di C devono essere l’opposto di questi vettori. Per ottenere il vettore C, spostare la coda della sua componente y sulla testa della componente x. Quindi aggiungi i due vettori usando il teorema di Pitagora per trovare la grandezza del vettore C. E l’angolo per C è la tangente della componente verticale divisa per la componente orizzontale. Pertanto, la magnitudine calcolata di C risulta essere 1,93 Newton con un angolo di 10 ° rispetto all’asse x.

Ora, durante l’esperimento, calcoliamo C attraverso l’osservazione e la prova e l’errore, regolando i pesi e gli angoli per impedire il movimento dell’anello sulla tavola delle forze.

E questa tabella mostra che i risultati sperimentali e calcolati sia per la magnitudine che per l’angolo corrispondono strettamente per tutte e quattro le configurazioni. Questo accordo convalida la rappresentazione delle forze come vettori. La differenza può essere attribuita a limitazioni nell’accuratezza dei pesi, precisione di misurazione dell’angolo e forze non contabilizzate causate dall’attrito sulla tavola delle forze e con le pulegge.

L’addizione e la sottrazione vettoriale sono utilizzate sia in applicazioni semplici che complesse. Diamo un’occhiata ad alcuni di loro.

Quando si visita una città come New York, la distanza viene solitamente misurata in blocchi e le direzioni sono nord, sud, est e ovest.

Una persona che cammina quattro isolati a est e tre isolati a nord subisce un cambiamento di posizione, che è una quantità vettoriale. Pertanto, applicando le equazioni per l’addizione vettoriale, è possibile calcolare la grandezza e la direzione del vettore tra i punti iniziale e finale della passeggiata.

Dal camminare al volare: un pilota esegue costantemente l’addizione e la sottrazione del vettore mentale per manovrare l’aereo. Utilizzando i flap e gli alettoni delle ali, un pilota può regolare la portanza contro la gravità. Se la portanza è maggiore della forza gravitazionale, il piano sale. Se la portanza è inferiore alla forza gravitazionale, scende.

Allo stesso modo, un pilota utilizza i motori per regolare la spinta contro la resistenza. Se la spinta è maggiore della resistenza, l’aereo accelera. Se la spinta è inferiore alla resistenza, rallenta.

Quando la somma di queste quattro forze è uguale a zero, l’aereo è in equilibrio e naviga a velocità e altitudine costanti.

Hai appena visto l’introduzione di JoVE ai vettori. Ora dovresti sapere come aggiungere e sottrarre vettori e capire come certe quantità fisiche si comportano come vettori. Grazie per l’attenzione!