1차 도함수 판정법: 문제 해결

자산 가격이 최저점까지 급락한 뒤 저가 매수세가 유입되면서 급반등한 뒤 다시 점진적으로 하락하는 상황을 가정합니다. 이러한 거동은 전환점이 국소적으로 과대평가된 구간과 과소평가된 구간을 나타내는 매끄러운 함수로 모델링할 수 있습니다. 반등 후 감쇠가 이어지는 이러한 양상을 포착하는 유용한 예는 다음과 같습니다.

\begin{equation*}f(x) = (x - 2)^4 e^{-x}\end{equation*}

이 곡선의 최고점과 최저점은 함수가 증가에서 감소로, 또는 감소에서 증가로 전환되는지를 확인함으로써 1차 도함수 판정법으로 식별할 수 있습니다. 이를 위해 먼저 1차 도함수를 계산합니다. 해당 함수는 다항식 항과 지수함수 항의 곱으로 구성되어 있으므로, 미분 과정에서는 곱의 미분법을 적용해야 합니다. 미분을 수행한 후에는 도함수의 모든 항에 공통으로 포함된 인자를 묶어 식을 간단히 정리합니다.

다음으로 도함수를 0으로 놓고 방정식을 풀어 기울기가 0이 되거나 부호 판정이 필요한 입력값, 즉 임계값을 구합니다. 이러한 임계값은 이후 분석을 위해 정의역을 여러 구간으로 나누는 기준이 됩니다.

그 다음 각 구간에서 하나씩 시험점을 선택하여 도함수의 부호를 확인합니다. 도함수의 값이 양수이면 해당 구간에서 모델링된 자산 가격이 증가함을 의미하며, 음수이면 감소하고 있음을 의미합니다. 도함수의 부호가 양수에서 음수로 바뀌는 경우에는 상승에서 하락으로의 전환이 발생하므로 국소 최댓값이 존재함을 의미합니다. 반대로 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 경우에는 국소 최솟값이 존재하며, 이는 가격 곡선의 저점에 해당합니다.

마지막으로, 구한 임계값을 원래 함수에 다시 대입하여 이러한 전환점에서의 자산 가격 수준을 계산합니다. 이러한 국소 극값은 가격 변동의 잠재적 반전 구간을 나타내며, 회복 국면에서 하락 국면으로 또는 하락 국면에서 회복 국면으로 추세가 전환되는 지점을 정량적으로 파악하는 데 중요한 역할을 합니다.