Waiting
Login processing...

Trial ends in Request Full Access Tell Your Colleague About Jove

A subscription to JoVE is required to view this content.
You will only be able to see the first 20 seconds.

 
Click here for the English version

הפרעות עקיפה

Overview

מקור: יונג פ. חן, PhD, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, המכללה למדע, אוניברסיטת פרדו, מערב לאפייט, IN

הפרעות עקיפה הן תופעות אופייניות של גלים, החל מגלי מים ועד גלים אלקטרומגנטיים כגון אור. הפרעה מתייחסת לתופעה של כאשר שני גלים מאותו סוג חופפים כדי לתת וריאציה מרחבית לסירוגין של משרעת גלים גדולים וקטנים. עקיפה מתייחסת לתופעה של כאשר גל עובר דרך צמצם או הולך סביב אובייקט, חלקים שונים של הגל יכול להפריע וגם לגרום לשינוי מרחבי של משרעת גדולה וקטנה.

ניסוי זה ידגים את אופי הגל של האור על ידי התבוננות בעקיפה והפרעה של אור לייזר העובר דרך חריץ יחיד וחריץ כפול, בהתאמה. החתכים נחתכים פשוט באמצעות סכיני גילוח בנייר אלומיניום ודפוסי ההפשטה וההפרעה האופייניים מתבטאים כדפוסים של שוליים בהירים וכהים מתחלפים על מסך המונחים לאחר רדיד הכסף, כאשר האור נוצץ דרך החריץ על נייר הכסף. מבחינה היסטורית, ההתבוננות בעקיפה ובהפרעה של האור מילאה תפקיד חשוב בהקמת האור שהוא גל אלקטרומגנטי.

Principles

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

גל הוא תנודה במשרעת של כמות פיזית כלשהי בחלל ו /או בזמן. גלים או חלקים שונים של גלים יכולים לחפוף ו"להפריע " כדי לייצר משרעת חזקה וחלשה לסירוגין. הפרעה היא אחת התופעות האופייניות ביותר הקשורות לגלים. שקול דוגמה פשוטה לשני גלים המתפשטים לאורך קו בעל ממד אחד (ציר x) ומיוצגים מתמטית על-ידי:

Equation 1

ו

Equation 2
התפשטות ימינה (+x כיוון) ושמאל (−x כיוון), בהתאמה. כאן, A הוא משרעת השיא, ו- k הוא "מספר הגל" או "וקטור הגל" המוגדר כ,

Equation 3

כאשר λ הוא אורך הגל (תקופתיות מרחבית של הגל). ω מוגדר כ,

Equation 4

כאשר f הוא התדירות ו,

Equation 5

כאשר T היא התקופה (בזמן) של הגל. כאשר שני הגלים חופפים, המשרעת שלהם מסתכמת (הידועה בשם "עיקרון הסופרפוזיציה של הגל") כדי לתת:

Equation 6

אשר ידוע גם בשם "גל עומד". באותם מקומות שבהם,

Equation 7

(כאשר n הוא מספר שלם) ו,

Equation 8

התנודות (כפונקציות של זמן t) תהיה משרעת מקסימלית (בין −2A ו +2A). לעומת זאת, במקומות שבהם,

Equation 9

ו

Equation 10

התנודות יהיו אפס (ולכן מינימלי) משרעת (הידוע גם בשם "צמתים"). שינוי מרחבי כזה של משרעת גל חזקה וחלשה מייצג "דפוס הפרעה". תופעה זו יכולה להיות כללית לגלים במרחב דו-ממדי ותלת ממדי. הוא גם עומד בבסיס התופעות של עקיפה חד-חריצית והפרעה כפולה של אור (שהוא גל אלקטרומגנטי) שניתן לראות בניסוי זה.

אם אור אורך הגל (λ) נוצץ על חריץ צר של רוחב (א) (מוצג באופן סכמטי באיור 1a),עוצמת האור (שהיא פרופורציונלית לריבוע של משרעת השיא של הגל) הרחק מהחריץ תחליף בין ערכים גדולים וקטנים (כמעט אפסיים), המתאימים לאזורים "בהירים" ו"כהים", לאורך כיוון הרוחב ("ציר y" באיור 1a) של החריץ. שינוי זה, המכונה "דפוס העקיפה" של האור (דרך צמצם קטן), הוא גם תופעה אופיינית לגלים. ביסודו של דבר, הוא נובע מההתערבות בין חלקים שונים של גל האור לאחר הצמצם (בפרט, נקודות בין שני הקצוות של הצמצם "פולטים מחדש" את גל האור לכיוונים שונים). השונות הזוויתית של עוצמת האור מסומנת כ- I(θ), כאשר θ מייצג את זווית הכיוון (לכיוון +y או -y) הרחק מהכיוון "ישר דרך", דרך y = 0 באיור 1a). עבור θ קטן, ניתן להראות כי אני(θ) הוא פרופורציונלי בערך |sin(πaθ/λ)/(πaθ/λ)|2. כלומר, "כהה" ל,

Equation 11

ו"בהיר עבור,

Equation 12

. אם המסך ממוקם במרחק L מהחריץ, נצפים לסירוגין שוליים בהירים וכהים במיקומים שונים של y (כל שוליים יפעלו במקביל לחתוך) כפי שמוצג בסכמטית באיור 1b (משמאל). עבור θ קטן (קרוב למרכז y = 0),

Equation 13

כך ניתן לתאר את עוצמת השוליים בערך,

Equation 14

(פונקציה זו מוצגת באופן סכמטי באיור 1b, מימין). המרכז y = 0 הוא תמיד שוליים בהירים (שכן החטא(t)/t יש מקסימום של 1 כאשר t→0 ויורד באופן מונוטוני עד 0 כמו t עולה מ 0 π). מתרחקים מהמרכז, השוליים הכהים "מסדר ראשון" נתקלים במרכז,

Equation 15

ואז שוליים בהירים מרוכזים ב,

Equation 16

ואז השוליים הכהים שוב מרוכזים ב,

Equation 17

ואז שוליים בהירים שוב מרוכזים ב,

Equation 18

וכן הלאה. הרוחב של כל שוליים בהירים מחוץ למרכז הוא בערך λL/ a, למעט השוליים הבהירים המרכזיים שרוחבו כפליים (רוחב ~ 2λL/a, או ההפרדה בין שני שוליים כהים מסדר ראשון ב- ± λL/ a). ככל שהצמצום צר יותר, או ככל שאורך הגל גדול יותר או מרחק המסך L, כך השוליים יהיו מפוזרים יותר.

אם האור נוצץ דרך שני חריצים צרים מופרדים זה לזה עם הפרדה d (המתוארת באופן סכמטי באיור 2a)במערך דומה לזה באיור 1, ניתן להבחין ב"תבנית הפרעת החריץ הכפולה" המפורסמת של יאנג (מוצגת באופן סכמטי באיור 2b). ניתן להראות כי עבור θ קטן (קרוב למרכז y = 0), שוליים בהירים מרוכזים ב,

Equation 19

ושוליים כהים מרוכזים ב,

Equation 20

ניתן לצפות. בניגוד לתבנית עקיפה אחת החתכה שנדונו לעיל, כאן כל השוליים האור (כולל המרכזי ב y = 0), יש רוחב שווה והם מרווחים באותה מידה על ידי λL/ d. החריץ הצר עדיין ייצור דפוסי עקיפה, אך בדרך כלל רוחב החריץ (א) קטן בהרבה מההפרדה (ד),ואפנון העוצמה (בשל תבנית ההפרשה) יעלה על שולי ההפרעה הכפולה הקרובים והמרווחים באותה מידה.

מקור האור בדיון הנ"ל נחשב למונוכרומטי לחלוטין (כלומר יש לו אורך גל מוגדר היטב) וקוהרנטי (כלומר אם המיידיים שתנודות הגל מגיע למקסימום או למינימום במיקום אחד ידועים, ניתן לחזות את המיידיים שבהם ניתן יהיה לחזות את המקסימום או המינימום בכל מקום אחר). זהו המקרה לדוגמה, אם הגל מתואר על-ידי פונקציית קוסינוס כ- cos(kx−ωt+φ) עם שלב אחיד, קבוע φ, אשר ניתן לבחור להיות אפס על ידי הגדרה מחדש של נקודת ההתחלה של הזמן. מכיוון שלייזר הוא הקירוב הטוב ביותר לסוג זה של מקור אור אידיאלי, קרן לייזר משמשת כמקור האור בניסוי זה (מבחינה היסטורית בזמן טרום הלייזר, ניסויים כאלה השתמשו במקור אור דמוי נקודה כמו זה המיוצר על ידי אור חולף למרות חור קטן).

חשוב לציין כי השוליים העקיפה וההפרעה בפועל (כולל הצורה והעוצמה של השוליים) יכולים להיראות מסובכים יותר ופחות "אידיאליים" מאלה המתוארים לעיל במקרים והעריפות הפשוטים ביותר, בשל פגמים במקור האור כמו גם בחתכים. לדוגמה, ניתן להפחית את הניגודיות בין השוליים (כך שהשוליים ה"כהים" לא באמת מגיעים לאפס עוצמה) אם מקור האור פחות קוהרנטי. מצד שני, המיקום והמרווח של השוליים בדרך כלל צפויים היטב על ידי המודל הפשוט שנדון לעיל.
 
Figure 1

איור 1: עקיפה אחת. (א)תרשים סכמטי של ההתקנה האופטית, עם אור זורח דרך חריץ צר של רוחב a, ומסך תצפית הממוקם במרחק L משם; וכן (b)תבנית סטייה סכמטית מהשוליים שניתן לראות על המסך (משמאל) וריאציה תואמת של עוצמת האור כפונקציה של מרחק אנכי (y) הרחק מהמרכז.

 Figure 2
איור 2: הפרעה כפולה לחתוך. (א)תרשים סכמטי של ההתקנה האופטית, עם אור זורח דרך שני חריצים צרים המופרדים על-ידי מרחק d, ומסך תצפית הממוקם במרחק L משם; נוסף (ב)שולי הפרעה סכמטית (במרווחים שווים) שניתן לצפות בהם על המסך.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Procedure

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

1. רכישת הרכיבים הנדרשים לניסוי

  1. להשיג משקפי בטיחות לייזר ללבוש במהלך ניסוי זה לפני הפעלת הלייזר.
  2. להשיג חתיכת רדיד אלומיניום, ולהשתמש מספריים לחתוך אותו לשני (בערך) 2 x 2 בחלקים מרובעים.
  3. להשיג שני קרטון, כל אחד על 3 x 3 ב, עם חור (קוטר על 1 ב) לחתוך באמצע.
  4. השג מכשיר שיכול להדק את הקרטון או בלוק שאליו ניתן להקליט את הקרטון.
  5. להשיג כמה סכיני גילוח דקים.
  6. השג מצביע לייזר He-Ne עם אורך גל ~ 633 ננומטר או מצביע לייזר ירוק עם אורך גל של 532 ננומטר.

2. עקיפה בודדת של חריץ

  1. קח ריבוע רדיד אלומיניום והשתמש בסכין גילוח כדי לחתוך חריץ באורך של כ -1 ס"מ באמצע נייר הכסף. השתמש בסרגל כדי להנחות את סכין הגילוח כדי להשיג חתך ישר.
  2. הדבק את נייר הכסף על ריבוע קרטון עם חריץ מכוון אופקית בתוך החור הפתוח (מוצג באופן סכמטי באיור 3a). שים סרט מעבר לפינות נייר הכסף (לא לכסות את החריץ). הקרטון עוזר לייצב את נייר הכסף במהלך ניסוי זה. מהדקים קצה אחד של הקרטון עם המכשיר (הקרטון צריך להיות מאונך למשטח השולחן), עם החור והחריץ האופקי חשוף, ופונה לקיר לבן (שיהיה המסך) במרחק של כ -30 ס"מ משם.
  3. הפעל את מצביע הלייזר והאיר את קרן הלייזר (מתפשטת בכיוון הרגיל עד רדיד הכסף) על החריץ. שים לב לתבנית האור על הקיר בצד השני של נייר הכסף. כבה את נורית החדר לנראות טובה יותר של התבנית.

3. הפרעת חריץ כפולה

  1. קח את רדיד האלומיניום השני. עורם 3 סכיני גילוח יחד אבל עם קצה הלהב האמצעי שקוע מהקצוות של שני הלהבים האחרים. השתמש בערימה זו כדי לחתוך שני חריצים במרווחים הדוקים באמצע נייר הכסף (כל אחד באורך של כ -1 ס"מ). השתמש בסרגל כדי לעזור להנחות את התער ולבצע חתך ישר.
  2. הדבק את נייר הכסף על הקרטון השני (מוצג באופן סכמטי באיור 4a) ושוב תמוך בקרטון עם החטא או החסימה, בדומה לשלב 2.2.
  3. הפעל את מצביע הלייזר והאיר את קרן הלייזר על החריץ הכפול. שים לב לתבנית האור על הקיר בצד השני של נייר הכסף. כבה את נורית החדר לנראות טובה יותר של התבנית.

הפרעות עקיפה הן תופעות אופייניות של כל הגלים, מגלי מים ועד גלים אלקטרומגנטיים כגון אור.

הפרעה מתייחסת לתופעה שבה שני גלים מאותו סוג חופפים כדי לייצר גל כתוצאה מכך של משרעת גדולה יותר, נמוכה יותר או זהה.

עקיפה מוגדרת כיפוף של גל מעבר לפינות של מכשול או צמצם. במקרה זה, חלקים דיפרנציאליים של הגל יכולים להפריע ולהוליד שינוי מרחבי של משרעת גדולה וקטנה.

וידאו זה ידגים את אופי הגל של האור על ידי התבוננות בדפוסי עקיפה והפרעה.

גל הוא תנודה במשרעת של כמות פיזית כלשהי בחלל ו /או בזמן. הפרעה היא אחת התופעות האופייניות ביותר הקשורות לגלים.

חלקים שונים של גלים יכולים לחפוף ו"להפריע" כדי לייצר שינוי מרחבי של משרעת גלים חזקה וחלשה, הנקראת דפוס הפרעה. כאשר המשרעת של הגלים המפריעים מסתכמת, זה נקרא הפרעה בונה; ואילו, כאשר המשרעת שלהם לחסר אחד מהשני, זה נקרא הפרעה הרסנית.

עכשיו, אם אור של אורך גל lamda, הוא זרח על חריץ צר אחד, העוצמה רחוקה מן החריץ מחליף בין ערכים גדולים וקטנים או כמעט אפס, המקבילים לאזורים "בהירים" ו "כהים", הידוע גם בשם "שוליים". מרכז תבנית זו הוא תמיד בהיר, לאורך ציר y של החריץ.

שינוי זה מכונה "דפוס העקיפה" של האור דרך צמצם קטן. זוהי תופעה אופיינית לגלים. באופן ספציפי, נקודות בין שני הקצוות של הצמצם "פולטים מחדש", או במילים אחרות "להסיט" את גל האור לכיוונים שונים.

הפרעה בין חלקים שונים של גלי האור המפוזרים גורמת להיווצרות תבנית ההפרשה.

במקרה של שני חריצים במרווחים הדוקים, התבנית שנוצרה, הידועה בשם "דפוס ההפרעה החריץ הכפול של יאנג", נובעת מהפרעה של האור המפוזר משני החריץ. הפרוטוקול הבא מדגים כיצד להגדיר את הניסויים עם חריץ יחיד וחריץ כפול ולפרש את התוצאות שלהם.

אסוף את החומרים והמכשירים הדרושים לניסוי כולל מצביע לייזר הליום-ניאון עם אורך גל ~ 633nm, כמה סכיני גילוח דקים, רדיד אלומיניום, קרטון, סרגל, זוג מספריים, גוש עץ ומשקפי בטיחות לייזר.

באמצעות זוג מספריים לחתוך את רדיד האלומיניום לשני חלקים מרובעים כ 2 אינץ 'על 2 אינץ '. כמו כן, לחתוך את הקרטון לשני חלקים מרובעים כ 3 אינץ 'על 3 אינץ 'עם חור של כ 1 אינץ 'קוטר במרכז.

לאחר מכן, לקחת חתיכה אחת של רדיד אלומיניום, באמצעות סכין גילוח, לחתוך חריץ ישר על 1 ס"מ ארוך באמצע נייר הכסף. מדביקים את נייר הכסף על קרטון אחד עם החריץ ממוקם בתוך החור.

עכשיו, הדבק קצה אחד של הקרטון לבלוק העץ ולהחליק את הקיר הלבן כ -30 ס"מ מן החריץ. ודא כי הקרטון מאונך למשטח השולחן, ואת החור ואת החריץ האנכי חשופים, ופונה לקיר.

הנח את מצביע הלייזר בצד השני של הקרטון הרכוב, תוך הקפדה על כך שקרן הלייזר תהיה מקבילה לשולחן. עכשיו תלבש את משקפי הבטיחות בלייזר, תדליק את מצביע הלייזר, ותאיר את קרן הלייזר על החריץ.

כבה את אור החדר, והתבונן בדפוס האור על הקיר בצד השני של נייר הכסף. כבה את מצביע הלייזר והסר את משקפי הבטיחות בלייזר.

לאחר מכן, עורמו שלושה סכיני גילוח כך שהלהב האמצעי שקוע. קח את רדיד האלומיניום האחר ושימוש בערימה של סכיני גילוח וסרגל לחתוך שני חריצים מקבילים ישרים במרווחים הדוקים, כ 1 ס"מ ארוך באמצע נייר הכסף. עכשיו להדביק את נייר הכסף על הקרטון השני ולאחר מכן להדביק אותו על בלוק העץ כמו קודם.

ללבוש את משקפי הבטיחות בלייזר, להפעיל את מצביע הלייזר, ולהאיר את קרן הלייזר על החריץ הכפול. כבה את אור החדר, והתבונן בדפוס האור על הקיר בצד השני של נייר הכסף. לבסוף, כבה את מצביע הלייזר.

עם השלמת הפרוטוקול, הבה נבחן כעת את התוצאות של הניסויים החתכים הבודדים והניסויים החריץ הכפול. בניסוי החריץ היחיד, תבנית האור שנצפתה על הקיר מציגה את השוליים האופייניים של עקיפה. השוליים הבהירים המרכזיים רחבים בערך פי שניים, בכיוון ה-y, כמו השוליים הבהירים האחרים, שכולם סביב אותו רוחב.

בנוסף, עוצמת השוליים הבהירים נרקבת מהמרכז לשוליים ההיקפיים לאורך ציר ה-y. זה צפוי עבור דפוס עקיפה חריץ יחיד, כמו קרני האור המקביל מכופף הלייזר על החריץ וחפיפה באופן קונסטרוקטיבי, יצירת השוליים הבהירים ויצר באופן הרסני את הרצועות הכהות שביניהם.

בניסוי החריץ הכפול, תבנית האור שנצפתה על הקיר מציגה את שולי ההפרעה האופייניים.

שולי ההפרעה האלה צרים בהרבה מהאזורים הבהירים של תבנית ההפרשה. הסיבה לכך היא שההפרדה הבין-חריצית 'd' גדולה בהרבה מרוחב החריץ 'a', והיא ההדדית של ההפרדה הבין-חריצית השולטת ברוחב השוליים ההפרעה. עם זאת, זהו ההדדי של רוחב החריץ 'a' השולט ברוחב השוליים של עקיפה.

עקיפה והפרעה של אור מילאו תפקיד חיוני בקביעת האור כי האור הוא גל אלקטרומגנטי. לכן, השפעות אלה חשובות בטכנולוגיות רבות המבוססות על אופטיקה ופוטוניקה.

ספקטרוסקופיית עקיפה בלייזר, היא טכנולוגיה המשתמשת בדפוסי עקיפה של קרן לייזר העוברת דרך כל עצם - החל מננומטרים ועד מילימטרים בגודל - כדי למדוד במהירות ממדים גיאומטריים של חלקיק.

חיישן משמש לזיהוי ההסתבכות של אור הלייזר ולאחר מכן מחשב משמש לזיהוי גדלי החלקיקים של האובייקט מאנרגיית האור המיוצרת ופריסתו.

אינטרפרומטריה היא טכניקה המשתמשת סופרפוזיציה והפרעה של גלים למדידה מדויקת של מרחקים, עקירות קטנות, שינויי אינדקס שבירה, ואי סדרים על פני השטח.

כאן שני גלים באותו תדר, אך אורך נתיב שונה מפריע, מה שגורם לדפוס הפרעה. לאחר מכן ניתן להשתמש בתבנית זו כדי לבצע מדידה מדויקת של הפרמטר הלא ידוע. אותה טכניקה של אינטרפרומטריה משמשת במצפה הכוכבים LIGO או לייזר אינטרפרומטר כבידה-גל, שהם גלאים ענקיים שנבנו כדי לזהות גלי כבידה.

הרגע צפית בהקדמה של ג'וב לעיקוף והפרעה לאור. עכשיו אתה צריך להיות מסוגל להבין את התיאוריה מאחורי היווצרות של דפוסי אור עקיפה והפרעה, אשר הודגם באמצעות ניסויים חריץ יחיד וחריץ כפול. תודה שצפיתם!

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Results

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

בשלב 2.3 מוצגת תבנית אור מייצגת שניתן לראות על הקיר באיור 3ב, המציג את השוליים האופייניים לעקיפה. שים לב שהשוליים הבהירים המרכזיים רחבים בערך פי שניים (בכיוון y)מהשוליים הבהירים האחרים (שהם בערך זהים ברוחבם), ועוצמת היתר של השוליים הבהירים נרקבת מהמרכז לאורך ציר ה- y,כצפוי לתבנית עקיפה אחת.

בשלב 3.3 מוצגת תבנית אור מייצגת שניתן לראות על הקיר באיור 4ב. יש תבנית אפנון בעוצמה כוללת שנראית דומה לתבנית עקיפה שנצפתה בשלב 2.3. זהו אכן דפוס עקיפה בשל כל אחד מהחריץ הצר. בתוך האזורים הבהירים של תבנית ההפשטה, ניתן לצפות בפסים בהירים במרווחים שווים. אלה הם השוליים הפרעת חריץ כפול. שולי הפרעה אלה צרים בהרבה מהאזורים הבהירים של תבנית ההפרשה מכיוון שההפרדה הבין-חריץ d גדולה בהרבה מרוחב החריץ a (ההדדיות של אורכים אלה שולטות ברוחב ההפרעה או בשולי עקיפה, בהתאמה).

Figure 3

איור 3. תרשים המציג: (א) קרן לייזר זורחת על חריץ יחיד על רדיד אלומיניום, אשר קבוע על קרטון עם חור פתוח; ות"ב) שולי עקיפה מייצגים שנצפו על מסך לאחר החריץ.Figure 4

איור 4. תרשים המציג: (א) קרן לייזר זורחת על חריצים כפולים על רדיד אלומיניום, אשר קבוע על קרטון עם חור פתוח; ות"ב) שולי הפרעה מייצגים שנצפו על המסך לאחר החריץ הכפול.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Applications and Summary

or Start trial to access full content. Learn more about your institution’s access to JoVE content here

בניסוי זה, הדגמנו את תבנית עקיפה אחת חריץ דפוס הפרעה חריץ כפול של אור, באמצעות קרן לייזר. התבוננות בתופעות גל אופייניות אלה ממחישה את אופי הגל של האור.

עקיפה והפרעה של אור שיחקו תפקידים חיוניים בהתפתחות האופטיקה כפי שהם עזרו לקבוע כי האור הוא גל אלקטרומגנטי. השפעות אלה חשובות גם בטכנולוגיות רבות המבוססות על אופטיקה ופוטוניקה. לדוגמה, עקיפה משמשת בדרך כלל למדידת גודל של עצם קטן או חורים קטנים, והיא גם היבט חשוב שיש לקחת בחשבון בעת תכנון מיקרוסקופים אופטיים ומערכות הדמיה. מדידת הפרעות אופטיות (המכונות "אינטרפרומטריה") יכולה לשמש למדידה מדויקת של מרחקים (כגון אלה שבין מקורות אור או מראות) ומצאה יישומים החל עיבוד שבבי, גיאולוגיה ואסטרונומיה (כגון בפרויקט LIGO שזיהה גלי כבידה).

מחבר הניסוי מכיר בסיועו של גארי הדסון להכנת חומר וצ'ואנחסון לי על כך שהדגים את הצעדים בסרטון.

Subscription Required. Please recommend JoVE to your librarian.

Transcript

Please note that all translations are automatically generated.

Click here for the English version.

Get cutting-edge science videos from JoVE sent straight to your inbox every month.

Waiting X
Simple Hit Counter