Algebra des Vektors: Graphische Methode

Vektoren können mit skalaren Größen multipliziert, anderen Vektoren addiert oder von anderen Vektoren subtrahiert werden. Die Vektorsumme von zwei (oder mehr) Vektoren wird als resultierender Vektor oder kurz als Resultante bezeichnet.

Wir nutzen die geometrischen Gesetze zur Konstruktion von Resultantvektoren und verwenden dann die Trigonometrie zur Bestimmung der Beträge und Richtungen der Vektoren. Für den geometrischen Aufbau der Summe zweier Vektoren in einer Ebene folgen wir der Parallelogrammregel. Angenommen, zwei Vektoren befinden sich an beliebigen Positionen. Verschieben wir einen der Vektoren parallel zum Anfang des anderen Vektors, so dass nach der Verschiebung beide Vektoren ihren Ursprung am selben Punkt haben. Nun zeichnen wir am Ende des ersten Vektors eine Linie parallel zum zweiten Vektor. Am Ende des zweiten Vektors zeichnen wir eine Linie parallel zum ersten Vektor. Auf diese Weise erhalten wir ein Parallelogramm. Vom Ursprung der beiden Vektoren ziehen wir eine Diagonale, die der Resultante der beiden Vektoren entspricht.

Die andere Diagonale dieses Parallelogramms ist der Vektorunterschied der beiden Vektoren. Aus der Parallelogrammregel folgt, dass weder der Betrag des resultierenden Vektors noch der Betrag des Differenzvektors als einfache Summe oder Differenz der Beträge der Vektoren ausgedrückt werden können. Dies liegt daran, dass die Länge einer Diagonale nicht als einfache Summe der Seitenlängen ausgedrückt werden kann. Wenn wir drei oder mehr Vektoren addieren müssen, wiederholen wir die Parallelogrammregel für die Paare von Vektoren, bis wir die Resultante aller resultierenden Vektoren finden.

Das Zeichnen des resultierenden Vektors vieler Vektoren kann mit der folgenden Schwanz-zu-Kopf-geometrischen Konstruktion verallgemeinert werden. Wir wählen einen der Vektoren als ersten Vektor aus und machen eine parallele Verschiebung eines zweiten Vektors an eine Position, an der der Ursprung ("Schwanz") des zweiten Vektors mit dem Ende ("Kopf") des ersten Vektors zusammenfällt. Dann wählen wir einen dritten Vektor und machen eine parallele Verschiebung des dritten Vektors an eine Position, an der der Ursprung des dritten Vektors mit dem Ende des zweiten Vektors zusammenfällt. Diesen Vorgang wiederholen wir, bis alle Vektoren in einer Kopf-zu-Schwanz-Anordnung vorliegen. Wir zeichnen den resultierenden Vektor, indem wir den Ursprung ("Schwanz") des ersten Vektors mit dem Ende ("Kopf") des letzten Vektors verbinden. Das Ende des resultierenden Vektors befindet sich am Ende des letzten Vektors. Aufgrund der Assoziativität und Kommutativität der Vektoraddition erhalten wir den gleichen resultierenden Vektor, unabhängig davon, welchen Vektor wir als ersten, zweiten, dritten oder vierten in dieser Konstruktion wählen.

Die Skalarmultiplikation eines Vektors ergibt eine Vektorgröße. Abhängig vom Vorzeichen der skalarischen Größe wird die Richtung des Vektors bestimmt. Wenn wir zum Beispiel die Vektorgröße mit einem positiven Skalar multiplizieren, wird der neue Vektor parallel zum gegebenen Vektor sein und umgekehrt.

Dieser Text ist angepasst von Openstax, University Physics Volume 1, Abschnitt 2.3: Algebra der Vektoren.