Zweiter Eindeutigkeitssatz

Betrachten Sie eine Region, die aus mehreren einzelnen Leitern mit einer bestimmten Ladungsdichte in dem Bereich zwischen diesen Leitern besteht. Der zweite Eindeutigkeitssatz besagt, dass wenn die Gesamtladung auf jedem Leiter und die Ladungsdichte in dem Zwischenbereich bekannt sind, dann kann das elektrische Feld eindeutig bestimmt werden.

Nehmen wir dagegen an, dass das elektrische Feld nicht eindeutig ist, und wenden wir das Gaußsche Gesetz in der Divergenzform auf den Bereich zwischen den Leitern und in der Integralform auf die Oberfläche an, die jeden Leiter umschließt. Bei der Integration über die äußerste Grenze umfasst die Ladung die Gesamtladung auf allen Leitern und die Ladungsdichte in der dazwischen liegenden Region.

Wenn ein drittes Feld als die Differenz zwischen den beiden Feldern definiert wird, dann ist die Divergenz des dritten Feldes und die integrale Form des dritten Feldes null. Die Produktregel wird verwendet, um den Ausdruck für die Divergenz des dritten Feldes und sein zugehöriges Potential zu erhalten. Das Potential kann in Bezug auf das Feld geschrieben werden und die Annahme, dass die Divergenz des dritten Feldes null ist, ergibt das Quadrat der Beträge des elektrischen Feldes.

Dieser Ausdruck wird über das Volumen der Region integriert und der Satz von Gauß wird angewendet, um das Volumenintegral als ein Oberflächenintegral umzuschreiben. Die Tatsache, dass das Oberflächenintegral des dritten Feldes null ist, impliziert, dass der Betrag des dritten Feldes überall null ist. Dies zeigt, dass die ersten beiden Felder gleich sind und beweist dadurch die Eindeutigkeit der Lösung.