Differentialgleichungen: Problemlösung

Eine Sicherheitsprüfung auf einem Schiff verwendet ein schweres Testgewicht. Das Gewicht wird gehoben und dann losgelassen, um zu untersuchen, wie Luftwiderstand die Bewegung beeinflusst. Sobald es losgelassen wird, beginnt das Gewicht in Ruhe und fällt durch die Luft.

Die Schwerkraft zieht ihn nach unten, während die Luft gegen seine Bewegung nach oben drückt. Nach Newtons zweitem Gesetz hängt die Geschwindigkeitsänderung von der Nettokraft ab.

Die Kombination dieser Kräfte ergibt eine Differentialgleichung, die Beschleunigung mit Geschwindigkeit verknüpft. Die Division der Gleichung durch die Masse ergibt eine einfachere Form.

Die Definition des Verhältnisses der Widerstandskonstante zur Masse als Konstante b erleichtert die Trennung der Differentialgleichung.

Die Integration der Gleichung und das Umschreiben der Gleichung, um die Gleichung für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu finden, ergibt eine Exponentialgleichung. Die Verwendung der Anfangsgeschwindigkeit von null hilft, die verbleibende Konstante in der Lösung zu bestimmen.

Mit zunehmender Zeit nähert sich die Geschwindigkeit einem konstanten Wert, der als Endgeschwindigkeit bekannt ist. Mit einem Gewicht von 10 Kilogramm und einer Luftwiderstandskonstante von 2 Newton-Sekunden pro Meter prognostiziert das Modell eine Endgeschwindigkeit von 49 Metern pro Sekunde.